3.要求与任务
从 1790 — 1990 年间美国每隔 10 年的人口记录如下表所示：
用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯
人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国 年的人口数量。
提示 1 ： Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻 t的人口为
x ( t )（即 x ( t )为模型的状态变量），且初始时刻的人口为 ，于是得到如下微分方程：
提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，
人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设 人口的增长率为x 的减函数，如设 r(x)=r(1-x/xm) ，
其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到
如下微分方程：
4、代码及结果
方法一：马尔萨斯 ( Malthus)人口指数增长模型
代码：
t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990];p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4];y = log(p); %求ln(p)函数值a = polyfit(t,y,1) %用一次多项式对t和y进行拟合z = polyval(a,t); %求得以a为系数的多项式在t处的函数值z1 = exp(z)r = a(1)plot(t,p,'bo',t,z1,'r') %分别画出散点图以及拟合曲线图xlabel('时间');ylabel('人口数量');legend('实际数据','理论曲线');
结论：随着时间的增加，人口按指数规律无限增长。可以进行短期的人口预测，较为符合
但是之后误差就很大了。
误差分析：询美国人口统计图表得出2000年为282.162、人口为309.322、人口
为329.484，发现两者有一定区别，因为预测中无法考虑到未来可能发生的各种变化因素。实际上
随着人口数量的增加，自然资源、环境因素， 人口政策，年龄和性别结构、地域特征等因素对人
口数量的阻滞作用越来越明显。
方法二：Logistic模型
通过求解差分方程的方式得到每个时刻的人口增长率，并将其归一化。接着使用线性回归的方法拟合出人口增长率与人口数量之间的关系，并推导出了一个基于人口增长率的指数模型，用于预测未来的人口数量。
代码：
clcclearclose allx=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4];%人口n=length(x);t=0:1:n-1;rk=zeros(1,n);rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2;rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2;for i=2:n-1rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2;endrk=rk./x;p=polyfit(x,rk,1);b=p(2);a=p(1);r0=b;xm=-r0/a;%输出pnum=zeros(n,1);for i=0:1:n-1pnum(i+1)=xm/(1+(xm/x(1)-1)*exp(-r0*i));endyear1=[1790 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 ];plot(year1,pnum,'r--o',year1,x,'k-*')xlabel('年份')ylabel('人口数量/万人')legend('预测人口数量','实际人口数量')figure(2)fnum=zeros(n+14,1);for i=0:1:n+13fnum(i+1)=xm/(1+(xm/x(1)-1)*exp(-r0*i));endyear2=[1790 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035];plot(year2,fnum,'r--o')xlabel('年份')ylabel('人口数量/万人')legend('预测人口数量')
结论：当t=2000 时人口为295.769、t=时人口为315.909、t=时人口为333.962。
误差分析：查询美国人口统计图表得出2000年为282.162、人口为309.322、人口
为329.484，发现两者几乎一致，Logistic模型的缺点是模型中的参数r和人口总数上限xm很难准确得
到，尤其是xm的值还会随着人口发展变化的情况而改变。实际上随着人口数量的增加，自然资源、环境因素， 人口政策，
年龄和性别结构、地域特征等因素对人口 数量的阻滞作用越来越明显，增长率不应取为常数。
方法三：多项式拟合
在代码中，使用了polyfit函数拟合5阶多项式，将拟合结果和原始数据一起绘制出来。另外，该
代码还用polyval函数计算了未来几十年的人口预测数量，并在另一个图表中绘制出来。
代码：
Close；clc;clear all %清除所有n=5;%拟合多项式的次数year=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990];num=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4];%户籍人口; p5= polyfit(year,num,n); %5阶拟合 %绘制原始数据和拟合曲线图figure(1)hold on;xlabel('year');%设置横坐标名ylabel('num');%设置纵坐标名title('1790-1990人口增长曲线'); %设置标题grid on%网格线plot(year,num,'r*',year,polyval(p5,year)) legend('人口数量','拟合曲线')figure(2)year1=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2030]plot(year1,polyval(p5,year1)) people=polyval(p5,year1);legend('人口预测数量')
结论：当t=2000 时人口为286.151、t=时人口为323.925、t=时人口为369.047。
误差分析：查询美国人口统计图表得出2000年为282.162、人口为309.322、人口
为329.484发现两者有一些差别，而且预测的时间越长，误差会逐渐增大，因为预测中无法考虑到
未来可能发生的各种变化因素。实际上随着人口数量的增加，自然资源、环境因素， 人口政策，
年龄和性别结构、地域特征等因素对人口数量的阻滞作用越来越明显，增长率不应取为常数。
四、总结及体会
通过这个数学建模的实例，我们可以体会到数学建模的重要性和难度。
在实际问题中，我们需要根据已知数据、假设和条件，将其量化为数学模型。经过推导和求解，得出模型所能提
供的结果。这个过程需要严谨的数学思维和运用一定的数学工具。
同时，在实际问题中，还需要考虑到数据的准确性、假设的合理性和模型的可靠性等因素。这些因素都会影响到
最终的模型结果和应用效果。因此，需要在建立模型的过程中，注重数据的采集、分析和处理，以及对假设和模
型的合理性进行判断和修正。
此外，我们还需要在建模的过程中，注重交流和合作。不同领域的专家拥有不同的知识背景和专业技能，他
们的合作和交流可以使得模型更加完善和全面。
总之，数学建模不仅是数学的一个应用领域，同时也涉及到多个学科，需要全面的知识储备和跨学科的合作
在实际问题中，需要注重思维方式、数据准确性和交流合作等因素，以期获得可信、可靠的模型结果。
