数值积分：梯形规则--复合梯形规则--辛普森规则--复合辛普森规则--龙贝格求积公式
1.问题描述
微积分方法求积有很大的局限性，当碰到被积函数很复杂时，找不到相应的原函数。积分值
在几何上可解释为由 x=a,x=b,y=0和y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积。积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲线。
2.理论与方法
依据积分中值定理，底为b-a,而高为f(e)的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I.f(e)称作区间[a,b]上的平均高度。这样，只要对平均高度f(e)提供一种算法，便相应地获得一种数值求积的算法。
1.梯形规则(Trapezoidal rule)简单选取区间[a ,b]的中点高度作为平均高度。取h=b-aa0=⌠(a-b)(x-b)/(a-b)dx=(b-a)/2a1=⌠(a-b)(x-a)/(b-a)dx=(b-a)/2得到：2.辛普森规则(Simpson rule)
可视作用a , b与c=(a+b)/2三点高度的加权平均值作为平均高度。
3.复合梯形规则(Composite numerical)设将求积区间[a,b]划分为n等份，步长h=(b-a)/2 ,等分点为xi=a+bi , i=0,1,...,n 所谓复化求积法，就是先用低阶求积公式求得每个子段[xi,xi+1]上的积分值,然后再将它们累加求和，用各段积分之和Ii,i=0,1,n-1作为所求积分的近似值。复化梯形公式：4.复合辛普森规则(Composite Simpson)记子段[xi,xi+1]的中点为则复化公式为复化Simpson公式：
5.龙贝格求积公式(Romberg)龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度.
在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。
对区间[a， b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2k}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2
把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a)/2，于是
T2 =/2+[h/2]f(a+h/2）
把区间四(2)等分，每个小区间长度为h/4 =（b-a）/4，于是
T4=/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................把[a，b] 2等分，分点=a+（b-a）/ 2 ·i （i =0，1，2 · · · 2k）每个小区间长度为（b-a）/ 2 .
3.算法与设计1.梯形规则(Trapezoidal rule)计算区间端点函数值，代入公式：2.辛普森规则(Simpson rule)计算区间端点及中点函数值，代入公式
3.复合梯形,辛普森规则(Composite)
4.龙贝格求积公式(Romberg)已给函数f(x),求积区间[a,b] 及精度e准备初值：令 h=b-a,n=1 在步长二分过程中，逐步生成，并存数据T8,S4,C2,R1于单元t1,s1,c1,r1中二分求梯形值 h=h/2,n=2n 根据公式求出新的梯形值，存于单元t2中
松弛加速：根据公式求加速值，存于单元s2,c2,r2中
精度控制：如果|r2-r1|<e,则输出r2作为结果，终止计算；否则t1=t2,s1=s2,c1=c2,r1=r2，转2继续二分。
4.代码
void tra(){cout << endl;cout << "trapezoidal rule" << endl;double a = 0, b = 0.8;double fa = 0.2 + 25 * a - 200 * pow(a,2) + 675 * pow(a, 3) - 900 * pow(a, 4) + 400 * pow(a, 5);double fb = 0.2 + 25 * b - 200 * pow(b, 2) + 675 * pow(b, 3) - 900 * pow(b, 4) + 400 * pow(b, 5);double n = 100;double h = (b - a) / n;double w[100]; w[0] = 0;double f[100];for (int i = 1; i < n; i++) w[i] = w[i - 1] + h;for (int i = 1; i < n; i++){f[i] = 0.2 + 25 * w[i] - 200 * pow(w[i], 2) + 675 * pow(w[i], 3) - 900 * pow(w[i], 4) + 400 * pow(w[i], 5);}double s = 0;s = ((h - a) / 2)*(fa + f[1]);for (int i = 2; i < n; i++){s += ((h / 2)*(f[i] + f[i - 1]));}s+= ((h / 2)*(fb + f[99]));cout << s << endl;}void sim(){cout << endl;cout << "simpson's rule" << endl;double a = 0, b = 0.8;double fa = 0.2 + 25 * a - 200 * pow(a, 2) + 675 * pow(a, 3) - 900 * pow(a, 4) + 400 * pow(a, 5);double fb = 0.2 + 25 * b - 200 * pow(b, 2) + 675 * pow(b, 3) - 900 * pow(b, 4) + 400 * pow(b, 5);double n = 100;double h = (b - a) / n;double w[100]; w[0] = 0;double f[100];for (int i = 1; i < n; i++) w[i] = w[i - 1] + h;for (int i = 1; i < n; i++){f[i] = 0.2 + 25 * w[i] - 200 * pow(w[i], 2) + 675 * pow(w[i], 3) - 900 * pow(w[i], 4) + 400 * pow(w[i], 5);}double s = 0;f[0] = fa;for (int i = 1; i < n-1; i+=2){s += (2*h / 6)*(f[i-1] + 4*f[i]+f[i+1]);}cout << s << endl;}void com_tra(){cout << endl;cout << "the composite trapezoidal rule" << endl;//double h = 0.1;double a = 0, b = 0.8;double fa = 0.2 + 25 * a - 200 * pow(a, 2) + 675 * pow(a, 3) - 900 * pow(a, 4) + 400 * pow(a, 5);//double f7 = 0.2 + 25 * h*7 - 200 * pow(h * 7, 2) + 675 * pow(h * 7, 3) - 900 * pow(h * 7, 4) + 400 * pow(h * 7, 5);double fb = 0.2 + 25 * b - 200 * pow(b, 2) + 675 * pow(b, 3) - 900 * pow(b, 4) + 400 * pow(b, 5);double n = 100;double h = (b - a) / n;double w[100]; w[0] = 0;double f[100];for (int i = 1; i < n; i++) w[i] = w[i - 1] + h;for (int i = 1; i < n; i++){f[i] = 0.2 + 25 * w[i] - 200 * pow(w[i], 2) + 675 * pow(w[i], 3) - 900 * pow(w[i], 4) + 400 * pow(w[i], 5);}double s = 0;f[0] = fa;for (int i = 1; i < n ; i++){s += (h / 2)*( 2 * f[i]);}s += (h / 2)*(fa + fb);cout << s << endl;}void com_sim(){cout << endl;cout << "the composite simpson's rule" << endl;//double h = 0.1;double a = 0, b = 0.8;double fa = 0.2 + 25 * a - 200 * pow(a, 2) + 675 * pow(a, 3) - 900 * pow(a, 4) + 400 * pow(a, 5);double fb = 0.2 + 25 * b - 200 * pow(b, 2) + 675 * pow(b, 3) - 900 * pow(b, 4) + 400 * pow(b, 5);double n = 100;double h = (b - a) / n;double w[100]; w[0] = 0;double f[100];for (int i = 1; i < n; i++) w[i] = w[i - 1] + h;for (int i = 1; i < n; i++){f[i] = 0.2 + 25 * w[i] - 200 * pow(w[i], 2) + 675 * pow(w[i], 3) - 900 * pow(w[i], 4) + 400 * pow(w[i], 5);}double s = 0;f[0] = fa;for (int i = 1; i < n; i++){if (i % 2) s += (h / 3)*(2 * f[i]);else s += (h / 3)*(4 * f[i]);}s += (h / 3)*(fa + fb);cout << s << endl;}
End
