“无限之上是有限,有限之上是无限”
想必大家都听说过古代的四大神兽,并且貌似它们都是正义的伙伴。但是,物理学的“四大神兽”相比而言就没有那么神圣感,也不那么为人所知。
但是,如果让青龙白虎朱雀玄武和物理学“四大神兽”掐一架,还真不一定能分出高下。也许你第一眼看到这四大神兽的能力的时候会以为这是玄幻小说:推演万物,逆转阴阳,无尽能源,快如闪电…… 物理学也开始搞事情了?
当然不是,这“四大神兽”中的每一个都象征着一个物理定律,象征着物理学一段辉煌的发展史。它们分别是:拉普拉斯妖,麦克斯韦妖,薛定谔的猫和芝诺的乌龟。
四大神兽虽然可怕,但是我们已经成功“封印”了其中的三个。现在唯一存活着的是薛定谔的猫,所以大家大可不必叫奥特曼来拯救地球。
注:本文提到的神兽不是真实存在的。
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没有人能追上的“芝诺乌龟”
四大神兽中最好理解、最早出现、最先被封印的是一只诞生于古希腊的乌龟。这只乌龟可不是普通的乌龟,因为即使他的速度比人慢,还是没有人会追上他。
现在,我们就现场举办一场“人龟赛跑”。
跑道一共2米长。人的速度必然是比乌龟快的,所以这里我们假设人每秒能跑2米,假设芝诺乌龟每秒能爬1米。出于公平起见,人类让乌龟1米,这样理论上乌龟和人能一起到达终点。
图一:人龟赛跑
半秒过去了,人走了1米,芝诺龟走了0.5米。
图二:半秒过去以后
又四分之一秒过去了,人又走了0.5米,芝诺龟走了0.25米。
图三:又四分之一秒过去以后
双八分之一秒过去了,人双走了0.25米,芝诺龟走了0.125米。
图四:双八分之一秒过去了以后
叒十六分之一秒过去了,人叒走了0.125米,芝诺龟走了0.0625米
图五:叒十六分之一秒过去了以后
等会?这么一看,人岂不是永远也追不上芝诺龟吗?
貌似真的有道理诶!
是的。如果一直这么追下去,人和芝诺龟之间的距离永远存在,无论如何人也无法在终点之前超过芝诺乌龟。如果你还在不断地沿着这个思维往下想,那么你一定是中了芝诺悖论的怪圈。
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芝诺悖论的解释
首先,是理科的解释。
在芝诺悖论中,距离的总和是一个定值,所以它的无穷级数的和是收敛的,也就是说无限个不等的距离的和是有限的,而级数的无限次相加需要无限多次的细分,然而现实中的距离是无法无限细分的(最小的物理尺寸为普朗克长度)。
然后,是逻辑学上的解释。
按照芝诺的理论,人与乌龟之间的距离无限缩小,但永远不为零。但是悖论的前提就是“运动”,也就是不一样的速度产生了距离的改变。芝诺在这个前提中承认了运动能改变距离,但是放到悖论中,他却没有承认宏观上的距离可以通过不一样速度的运动改变。
然后,是马克思主义哲学上的解释。
首先,芝诺说:“运动的东西既不在它所在的地方运动,也不在它所不在的地方运动。” 这句话其实是对于飞矢不动(一条线是由无限个点组成的。假设有一只飞在空中的箭,在一个瞬间内,这支箭是不动的,那么运动的轨迹又是由无数个瞬间组成的,那理论上这支箭就应该没有移动)的解释,但是也可以用到芝诺乌龟上来。这句话否认了运动的真实性。恩格斯批判形而上学时说:“运动本身就是矛盾;甚至简单的机械位移之所以能够实现,也只是因为物体在同一瞬间既在同一个地方又在另一个地方,既在同一个地方又不在同一个地方。这种矛盾的连续性产生和同时解决正好就是运动。” 由此可见,恩格斯不仅承认运动的矛盾性,而且认为正是这种矛盾构成了运动,而芝诺只是看到运动的间断性和连续性这两者矛盾对立的一面,强行割裂两者,忽视了运动的间断性和连续性统一的一面。
高中课本诚不欺我!
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关于无穷
其实,芝诺悖论源于人们对于“无穷小”的探索。那么还有什么关于的故事呢? 下面就带着大家破除日常生活中对于“无穷”的迷惑。
一、0.99999···是不是等于1?
其实,有一个很好的方法证明:
①十个0.99999····等于9.99999···
②9.99999-0.99999(也就是十个0.99999减去一个0.999999)=9
③九个0.99999=9,一个0.99999=1
证明完毕。
但是其实这种运算方法不能用在高等数学里。
图六:0.999999的证明
二、无穷大能不能比大小?
这里我们引入希尔伯特的思维实验——无限旅馆。
一个旅馆有无穷多的房间,住了无穷多的客人。
有一天,你来到这个旅馆。
老板想了想,貌似没有多余房间了。他想了想,他把一号房间腾出来,然后让原本一号房间的客人去二号,二号去三号,三号去四号······
因为这是无限客房,所以并没有最后一间房间。你成功住下了。
这是对于无穷大和无穷大加一的比较。
后来,来了无穷多的客人。
这一次,老板让原本一号房间的客人去二号,原本二号房间的客人去四号,三号去六号,四号去八号······。这样下来,所有奇数的客房又空了出来。
于是,又一批无穷多的客人住下了。
这是对于无穷大和两倍无穷大的比较。
也就是说,无穷大和无穷大的大小是可以比较的,是不一样的。
图七:无限旅馆
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感谢你看到这里,也恭喜你成功战胜了第一个物理神兽——代表着无穷的芝诺乌龟。