互信息,Mutual Information,缩写为MI,表示两个变量X与Y是否有关系,以及关系的强弱。
如果 (X, Y) ~ p(x, y), X, Y 之间的互信息 I(X; Y)定义为:
Note: 互信息 I (X; Y)可为正、负或0。
互信息实际上是更广泛的相对熵的特殊情形
如果变量不是独立的,那么我们可以通过考察联合概率分布与边缘概率分布乘积之间的 Kullback-Leibler 散度来判断它们是否“接近”于相互独立。此时, Kullback-Leibler 散度为
这被称为变量 x 和变量 y 之间的互信息( mutual information )。根据 Kullback-Leibler 散度的性质,我们看到 I[x, y] ≥ 0 ,当且仅当 x 和 y 相互独立时等号成立。
使用概率的加和规则和乘积规则,我们看到互信息和条件熵之间的关系为
可以把互信息看成由于知道 y 值而造成的 x 的不确定性的减小(反之亦然)(即Y的值透露了多少关于X 的信息量)。
Y的熵指的是衡量的是Y的不确定度,Y分布得越离散,H(Y)的值越高
H(Y|X)则表示在已知X的情况下,Y的不确定度
所以,根据互信息公式的变形:
可以看出,I(X,Y)可以解释为由X引入而使Y的不确定度减小的量,这个减小的量为H(Y|X)
所以,如果X,Y关系越密切,I(X,Y)就越大
I(X,Y)最大的取值是H(Y),此时H(Y|X)为0,意义为X和Y完全相关,在X确定的情况下Y是个定值,没有出现其他不确定情况的概率,所以为H(Y|X)为0
I(X,Y)取0时,代表X与Y独立,此时H(Y)=H(Y|X),意义为X的出现不影响Y。。
性质
I(X;Y)的性质:
1)I(X;Y)⩾0
2)H(X)−H(X|Y)=I(X;Y)=I(Y;X)=H(Y)−H(Y|X)
3)当X,Y独立时,I(X;Y)=0,
4)当X,Y知道一个就能推断另一个时,I(X;Y)=H(X)=H(Y)
缺点
在做文本分类时,我们可能会判断一个词和某类的相关程度,但是计算时,未考虑词频的影响
(可以让互信息的结果再乘上tf-idf因子,从而将特征频率与特征分布考虑进去)
应用
1、文本自动摘要
2、两个词语同时出现的概率
PMI(点互信息),通过判断一个词分别与poor和excellent的互信息来判断这个词的情感倾向
3、特征提取时特征项与类别的关联程度
点互信息PMI(Pointwise Mutual Information)
PMI(Pointwise Mutual Information)这个指标来衡量两个事物之间的相关性(比如两个词)。
其原理很简单,公式如下:
在概率论中,我们知道,如果x跟y不相关,则。二者相关性越大,则就相比于越大。用后面的式子可能更好理解,在y出现的情况下x出现的条件概率除以x本身出现的概率,自然就表示x跟y的相关程度。 这里的log来自于信息论的理论,可以简单理解为,当对取log之后就将一个概率转换为了信息量(要再乘以-1将其变为正数),以2为底时可以简单理解为用多少个bits可以表示这个变量。(更正式的解释请阅读信息论相关理论)
点互信息PMI其实就是从信息论里面的互信息这个概念里面衍生出来的。其衡量的是两个随机变量之间的相关性,即一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量。所谓的随机变量,即随机试验结果的量的表示,可以简单理解为按照一个概率分布进行取值的变量,比如随机抽查的一个人的身高就是一个随机变量。可以看出,互信息其实就是对X和Y的所有可能的取值情况的点互信息PMI的加权和,而点互信息只是对其中两个点进行相关性判断。因此,点互信息这个名字还是很形象的。
[点互信息(PMI,Pointwise Mutual Information)]
互信息、条件熵与联合熵的区别与联系
venn图表示关系
由于 H(X|X) = 0, 所以, H(X) = H(X) – H(X|X) = I(X; X)
这一方面说明了为什么熵又称自信息,另一方面说明了两个完全相互依赖的变量之间的互信息并不是一个常量,而是取决于它们的熵。
从图中可以看出,条件熵可以通过联合熵 - 熵( H(X|Y) = H(X, Y) - H(Y) )表示,也可以通过熵 - 互信息( H(X|Y) = H(X) - I(X; Y) )表示。