§5.4定积分的换元法
一、换元公式
【定理】若
1、函数在上连续；
2、函数在区间上单值且具有连续导数；
3、当在上变化时，的值在上变化，且
，
则有
(1)
证明：
(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续， 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。
假设是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有
另一方面， 函数的导数为
这表明： 函数是在上的一个原函数， 故有：
从而有
对这一定理给出几点注解：
1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。
求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。
2、应注意代换的条件，避免出错。
(1)、在单值且连续；
(2)、
3、对于时， 换元公式(1)仍然成立。
【例1】求
【解法一】 令
当时，；当时，。
又当时，有
且变换函数在上单值，在上连续，
由换元公式有
【解法二】令
当时，；当时，。
又当时，，
且变换函数在上单值，在上连续，
由换元公式有
注意：
在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。
换元公式也可以反过来， 即
【例2】求
解：设，
当时，；当时，
一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。
二、常用的变量替换技术与几个常用的结论
【例3】证明
1、若在上连续且为偶函数，则
2、若在上连续且为奇函数，则
证明：由定积分对区间的可加性有
对作替换得
故有
若为偶函数， 则
若为奇函数， 则
【例4】若在上连续， 证明：
1、
2、
并由此式计算定积分
1、证明：设，
2、证明： 设，
【例5】求
解：令，
故
评注：
这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。
§5.5定积分的分部积分法
设函数，在区间上具有连续的导函数， 则
而
故
这就是定积分的分部积分公式。
也可写成形式
【例1】求
解： 令，，
当时，； 当时，。
【例2】计算定积分(为自然数)。
解：设，
，
这样，我们得到了递推公式，依此公式，再计算出两个简单的初值与，即可求得。
，
当为偶数，有
引入记号
同理，若为奇数，有
综合便得到著名的华里斯公式一
由于， 故
【例3】求(为自然数)
解：令，
当时，； 当时，
【例4】(华里斯公式二)
证明：设
当时， 有
如果为偶数， 则有
如果为奇数，则
综合得到著名而常用的华里斯公式二
华里斯公式的应用十分地广泛，掌握好它可以方便地求许多定积分。
【例5】求
解：应用华里斯公式二， 有
§5.7广义积分
【引例】计算曲线与轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。
按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为。
显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。
该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：
编程计算的值，并作出这些值的图象，观察图象是否逼近于一条固定的直线。
请运行matlab程序gs0504.m。
一、积分区间为无穷区间的广义积分
【定义一】
设函数在区间上连续， 任取，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，并记作,亦即
此时，也称广义积分收敛；
如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数在区间上连续，任取，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，
记作，亦即
此时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数在区间上连续，如果广义积分
与
同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分，记作。
亦即
这时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。
上述积分称为无穷限的广义积分。
【反例】
但
发散,因此，是发散的。
【例1】计算广义积分
解：
显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。
【例2】计算广义积分。
解：
观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：
请注意：将上下限代入原函数时，意味着取极限
这样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。
【例3】证明广义积分当时收敛； 当发散。
解：若
若
二 无界函数的广义积分
【定义二】
设函数在区间上连续， 且，取，
如果极限存在，则称此极限值为函数在区间上的广义积分，记作。亦即
此时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。点称之为奇点。
类似地，有
设函数在区间上连续，且，取，如果极限存在，则称此极限值为函数在区间上的广义积分，记作。亦即
此时， 也称广义积分收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。点称之为奇点。
类似地， 又有
设函数在上除外均连续， 且，
如果两个广义积分与均收敛， 则定义广义积分
否则称广义积分发散。点称之为奇点
注明：上式中的与不一定是相同的。
【例4】求
解：，
故奇点。
注明：为了简便，上述过程也可写成
【例5】讨论的敛散性。
解：,故是奇点。
故发散，从而， 原广义积分亦发散。
此题若忽视是奇点，将积分当作普通积分来处理，会导致错误解法
【例6】证明广义积分当时收敛；当时发散。
解：当时，是奇点，
广义积分，
故广义积分发散；
当时，
故广义积分收敛；
当时，
故广义积分发散；
综合得：
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