分位数回归及其实例
一、分位数回归的概念
分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数(例如四分位、十分位、百分位等)来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。
传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X 的影响过程。普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE)；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M Ⅵ甩)。但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。
为了弥补普通最dx--乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression)的思想。它依据因变量的条件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状的影响。
分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。
一般线性回归模型可设定如下：
()((0)),(0,1).x t t I t ρττ=-
在满足高斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下：
01122(|)...k k E y x x x x αααα=++++
其中u 为随机扰动项k αααα,...,,,210为待估解释变量系数。这是均值回归(OLS )模型表达式，类似于均值回归模型，也可以定义分位数回归模型如下：
01122(|)...()y k k u Q x x x x Q ταααατ=+++++
对于分位数回归模型，则可采取线性规划法(LP )估计其最小加权绝对偏差，从而得到解释变量的回归系数，可表示如下：
01122min (...)x k k E y x x x ραααα-----
求解得：01122?????(|)y
k k Q x a a x a x a x τ=++++
