张量
如何证明一矢量的一导为角速度与该矢量的叉乘？
参数说明：r:r是在i系的固定矢量rd:i系固定矢量r在d系的投影C:i系到d系的转换矩阵wi:在b系观察 b系相对于i系的角速度-wi:i系相对于b系的角速度d():微分
已知:
d(r)=0(在i系的固定矢量)d(r)=0(在i系的固定矢量)d(r)=0(在i系的固定矢量)
d(rd)=−wi×rdd(r_d)=-w_i\times r_dd(rd)=−wi×rd（证明）
转换矩阵
r=C∗rdr=C*r_dr=C∗rd
则微分方程：
d(r)=d(C)∗rd+C∗d(rd)=d(C)∗rd+C∗(−wi×rd)=0d(r)=d(C)*r_d+C*d(r_d)=d(C)*r_d+C*(-w_i\times r_d)=0d(r)=d(C)∗rd+C∗d(rd)=d(C)∗rd+C∗(−wi×rd)=0
得到方向余弦的微分方程为 d(C)=−C∗wi×d(C)=-C*w_i\timesd(C)=−C∗wi×
求解方向余弦的微分方程：令Ω(t)=−C(t)∗(wi(t)×)Ω(t)=-C(t)*(w_i(t)\times)Ω(t)=−C(t)∗(wi(t)×)
约束条件：在0-T时间内定轴旋转
即：Ω(t2)Ω(t1)=Ω(t1)Ω(t2)（t1,t2属于[0,T]）(证略)Ω(t_2)Ω(t_1)=Ω(t_1)Ω(t_2) （t_1,t_2 属于[0,T]）(证略)Ω(t2)Ω(t1)=Ω(t1)Ω(t2)（t1,t2属于[0,T]）(证略)
得到方向余弦的微分方程的解为：
C(t)=C(0)e∫0tΩ(t1)dt1C(t)=C(0)e^{\int_0^t {Ω(t_1)}}dt_1C(t)=C(0)e∫0tΩ(t1)dt1
若：在[0,T]内
θ(T)=∫0Tw(T)dT;θ(T)=\int_0^Tw(T)dT;θ(T)=∫0Tw(T)dT;
θt=∣θ(T)∣θ_t=|θ(T)|θt=∣θ(T)∣
C(t)=C(0)∗e∫0tΩ(t1)dt1=C(0)∗Ct0C(t)=C(0)*e^{\int_0^t {Ω(t_1)d_{t1}}}=C(0)*C_t^0C(t)=C(0)∗e∫0tΩ(t1)dt1=C(0)∗Ct0
e∫0tΩ(t1)dt1=I+sin(θt)θt[θ(T)×]+1−cos(θt)θt2[θ(T)×2]e^{\int_0^t {Ω(t_1)d_{t1}}}=I+\frac{sin(θ_t)}{θ_t}[θ(T)\times]+\frac{1-cos(θ_t)}{θ_t^2}[θ(T)\times^2]e∫0tΩ(t1)dt1=I+θtsin(θt)[θ(T)×]+θt21−cos(θt)[θ(T)×2]
那么时间[0,T][0,T][0,T]拓展到[tm−1,tm][t_{m-1}, t_m ][tm−1,tm],
方向时间微分方程为（捷联惯导姿态阵）为:CmC_{m}Cm
θ(T)=∫tm−1tmw(tm)dtm;θ(T)=\int_{t_{m-1}}^{t_m}w(t_m)dt_m;θ(T)=∫tm−1tmw(tm)dtm;
θt=∣θ(T)∣θ_t=|θ(T)|θt=∣θ(T)∣
那么递推公式为：
Cm=Cm−1∗Cmm−1C_m=C_{m-1}*C_{m}^{m-1}Cm=Cm−1∗Cmm−1
Cmm−1=e∫mm−1Ω(t1)dt1=I+sin(θt)θt[θ(T)×]+1−cos(θt)θt2[θ(T)×]2C_{m}^{m-1}=e^{\int_m^{m-1}{Ω(t_1)d_{t1}}}=I+\frac{sin(θ_t)}{θ_t}[θ(T)\times]+\frac{1-cos(θ_t)}{θ_t^2}[θ(T)\times]^2Cmm−1=e∫mm−1Ω(t1)dt1=I+θtsin(θt)[θ(T)×]+θt21−cos(θt)[θ(T)×]2
