利用平行线构造相似三角形，用这道题来训练效果最好
在学习相似三角形的判定时，除了定义之外，我们第一个学习的就是利用平行线构造相似三角形，也因此，我曾经在课堂上调侃这种方法为“有平行必有相似”，在随后的多次练习中，利用平行线也的确解决了不少构造相似的问题。尤其是下面这道题，我认为对学生观察图形的训练应该是比较全面了。
题目
已知：△ABC中，D为BC边上中点，E为AC边上一点，且AE:AC=1:3，连接AD和BE，相交于点F，求AF:FD的值.
解析：怎么想到去用相似？这个问题的实质就是相似三角形运用的必要性，由于题目中给出的条件是线段之间的比例关系，而最后结果中求的也是线段之间的比例关系，所以需要成比例线段，而成比例线段在相似三角形中是非常容易得到的，故此需要构造相似三角形。根据“有平行必有相似”，我们选择作平行线，但具体在哪里作？构造出什么样的相似三角形，方法非常多。
第一种方法，从点D和点E的位置，前者是中点，后者是三等分点，于是想到把AC上剩下的那个三等分找到，过点D作DG∥BE，交AC于点G，得到双A型相似，如下图：
构造出的第一对相似三角形是△CDG∽△CBE，当然，利用DG是中位线同样可行，第二对相似三角形是△AEF∽△ACD，它们的相似比都是1:2，于是很顺利地找到AF:FD=1；
第二种方法，依然过点D作平行线，但朝另一个方向，即作DH∥AC，交BE于点H，如下图：
既然经过点D作平行线，那第一对相似三角形△BDH∽△BCE，相似比依然是1:2，中位线同样可行，可以得到DH=AE，此时第二对已经不是相似三角形了，而变成了全等，△AEF≌△DHF，结果AF:FD=1；
第三种方法，过点C作BE的平行线，使用这种方法的同学想必对中线倍长印象颇深，因为它们作出来效果的确很类似，过点C作CI∥BE，交AD延长线于点I，如下图：
这种方法在计算上稍多，同样构造出了第一对相似三角形，△AEF∽△ACI，相似比为1:3，而第二对，△BDF≌△CDI，于是FD=ID，再结合前面的AF:AI=1:3，可得结果AF:FD=1；
第四种方法，过点C作AD的平行线，和上一种方法类似，交BE的延长线于点J，如下图：
我们同样发现，构造出的第一对相似三角形，△BDF∽△BCJ，相似比为1:2，而第二对相似三角形，△AEF∽△CEJ，相似比同样为1:2，碰巧的是在两对相似三角形的对应边当中，AF与FD都对应CJ，于是AF:FD=1；
第五种方法，至此，过点C和D基本能作的平行都作了，是否能换成其它点？比如A？答案是可以，过点A作BC的平行线，交BE延长长于点K，得到双X型相似，如下图：
这一次，构造出的两对相似三角形均为X型，并且第二对相似三角形实质上是全等，即△AEK∽△CEB，相似比为1:2，从而AK=BD，于是△AFK≌△DFB，得到AF:FD=1；
第六种方法，过点B构造平行线呢？也可行，过B点作AD的平行线，交AD延长线于点M，同样得到双X型相似，如下图：
第一对相似三角形其实又是全等，△BDM≌△CDA，而第二对相似三角形，△AEF∽△MBF，相似比为1:3，若设AF=x，则AM=4x，而AD=MD=2x，得到FD=x，于是AF:FD=1。
解题反思
无论哪种构造平行线的方法，总要去尝试才能发现，在课堂上，先后有四位同学想出了不同的构造方法，对于他们来讲，这节课的收获是非常大的。只要认真去想了，也认真去做了，哪怕没有第一时间想出来，课堂上肯定有所得。特别地，每种方法中，为什么要这样构造平行线，是最值得集中注意力的时间段。而做完这道题之后，把所有这些作法都回顾一遍，归纳一下它们的共同点和不同点，就是很好的方法储备，我相信，再复杂的构造相似三角形，其根本出发点与本题是一样的。
