知识·规律·方法
①勾股定理的应用
用于直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
② 包勾股定理的逆定理：有一条边的平方等于其他两边的平方和的三角形是直角三角形。
勾股定理最早的文字记载见于欧几里得(公元前三世纪)的《几何原本》第一卷命题47，“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和”。
勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方又称毕达哥拉斯定理.它是欧几里得几何的重要定理之一，有的数学家形象地称勾股定理为欧氏几何的“拱心石”.数学大师陈省身先生说：“欧几里得几何的主要结论有两个，一个是毕达哥拉斯定理，一个是三角形内角之和等于180℃.”华罗庚教授曾建议把它送入其他星球，作为地球人与外星人交谈的语言，以探索宇宙的奥妙。到目前为止，勾股定理已有300多种证法。
勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证；对于已知三角形的三边的长，要判断其形状，则可根据勾股定理的逆定理通过计算进行判定，如果在问题的条件中发现与勾股定理极为类似的形式，就应设法将所涉及的线段集中于一个直角三角形中，或者设法构建出这个直角三角形，再进行证明.
我国汉代数学家赵爽著《勾股圆方图》，全文530余字，在我国第一次明确给出了勾股定理的理论证明，“案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之，为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实”.
证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形（如正方形ABCD），然后在“弦图”内部作四个直角三角形（如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG）.设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有
这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法.后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法，事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法。下面的几种证法，希望细细体会。
下面我们看例题分析
范例解析
例题1：（1997年苏州中考试题）
△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上的一点，是证明：BD^2+DC^2=2AD^2.
重点难点：本题主要考察的是构造一个新的直角三角形做BC边上的高，恰好△ABE，△ACE都是等腰直角三角形，把几何问题转换成了方程问题。
例题2：(，天津市数学中考试题)
如图所示，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G，求证：AB^2=2FG^2
重点难点：
注意到正方形的特征∠CAB=45°，左右△AGF是等腰直角三角形，从而AB^2=2FG^2
，只需证明AF=AB即可，这启发我们要去证明△ABE≌△AFE。
在审题中，条件“AE评分∠BAC”以及“作EF⊥AC于F”赢使我们意识到两个直角△明△ABE与△AFE全等，从而将AB过渡到AF，使得AF（即AB）与FG处于同一个直角三角形之中，就可以过渡到勾股定理之中了。
例题3：(，邯郸市数学中考试题)
如图所示，AM是△ABC的BC边上的中线，试证：AB^2+AC^2=2（AM^2+BM^2）.
重点难点：三角形的中线将三角形分成两个三角形，其中一个是锐角三角，另一个是钝角三角形（除等腰三角形以外）利用勾股定理，恰好可以消去相反项。
