如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以√2cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．
【解答】解：（1）如图1，连接BP．
图1
在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=4√2.
∵ 要使点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴BP=BQ，
∵AQ=√2t，CP=t，
∴BQ=4√2﹣√2t，PB^2=4^2+t^2，
∴(4√2-√2t)^22=16+t^2，
解得t=12﹣8√2或12+8√2（舍弃），
∴t=12﹣8√2s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
（2）①如图2，在△ABC中，
∵ AC＝BC，∠ACB＝90°.
∴ ∠A＝∠B＝45°.
当PQ=QA时，∠APQ＝∠A＝45°，则∠AQP＝90°.
∴ △APQ是等腰直角三角形，
图2
则有PA=√2AQ，
∴4﹣t=√2×√2t，
解得t=4/3．
②如图3中，当AP=PQ时，同理易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．
图3
则有：AQ=√2AP，
∴ √2t=√2（4﹣t），
解得t=2，
综上所述：t=4/3s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形。
（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．
则QE=AE，QF=EC，
∴ QE+QF=AE+EC=AC=4．
∵ S=S△QNC+S△PCQ=(CN·QF+PC·QE)/2
=t(QE+QF)/2=2t（0＜t＜4）．
所以S与t的函数关系式为：
S＝2t（0＜t＜4）.
