已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex
（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）的单调性
（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两条切线的斜率互为倒数，证明（e-1）/e＜a＜（e2-1）/e或a=0．
解：（1）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
对f（x）求导，得f′（x）=1/x﹣a=（1-ax）/x．
①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②若a＞0，当x∈（0，1/a）时，f′（x）＞0；当x∈（1/a，+∞）时，f'（x）＜0．
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1/a），单调递减区间是（1/a，+∞）．
（2）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），
则y2=ex2，k2=g′（x2）=ex2=y2/x2，
所以x2=1，y2=e，则k2=ex2=e．
由题意知，切线l1的斜率为k1=1/k2=1/e，
l1的方程为y=k1x=x/e．
设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），
考点分析：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
题干分析：
（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；
（2）背景为指数函数y=ex与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明．
