平行四边形的介绍过了,接下来就是矩形了。
矩形的问题怎么解决呢?
其实,矩形可以看出两个直角三角形组成的。
怎么说呢?
在此基础上面构造一个平行四边形即可,如下图:
那么直角三角形有哪些性质可以利用呢?
①角度的关系,一个直角或两个锐角互余;
③三边平方的等量关系(勾股定理);
③斜边中线等于斜边的一半。
利用以上几点可以解决需要的问题。
【中考真题】
(·南充)如图,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(﹣3,0),且OB=OC.
(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.
②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.
【分析】
本题中M和N都是动点,D的位置也不好确定,这是一个难点。
按照前文的思路,我们只需要确定△MND为直角三角形,且D为直角顶点即可。
在这里利用边与角感觉都不是特别方便。所以优先考虑斜边中线等于斜边的一半,那么点D一定是MN的中间且横坐标是他们和的一半(与它们中点在同一竖直线上,可以平分)。
然后再利用线段倍半关系即可。
备注:一边中线等于该边长一半的三角形是直角三角形。(斜边中线性质的逆定理)
有了直角,还可以想到构造三垂直,大家或许也可以尝试一下。
当然,如果直接利用勾股定理的逆定理,想想运算都比较麻烦,不知道大家还有其它思路吗?
【答案】
解:抛物线解析式为
y=﹣(x+1)(x+3)=﹣x²﹣4x﹣3
②如图3,∵D、F关于点E对称
∴DE=EF
∵四边形MDNF是矩形
∴MN=DF,且MN与DF互相平分
∴DE=1/2MN,E为MN中点
∴xD=xE=(m+m+4)/2=m+2
由①得当d=m+2时,DE=4
∴MN=2DE=8
∴(m+4﹣m)2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣(﹣m2﹣4m﹣3)]2=82
解得:m1=﹣4-√3/2,m2=﹣4+√3/2
∴m的值为﹣4-√3/2或﹣4+√3/2时,四边形MDNF为矩形.