等腰三角形的性质是初二数学的重要知识点,也是数学中考的常考题型,本文就例题详细解析这类题型的解题思路和辅助线作法,希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题1
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF,求证:∠ADC=∠BDF。
解题过程:
作∠ACB的平分线CG,交AD于点G
根据题目中的条件:CG为∠ACB的平分线,∠ACB=90°,则∠DCG=∠ACG=∠ACB/2=45°;
根据题目中的条件:∠ACB=90°,∠ABC=45°,∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°,则∠BAC=45°;
根据等角对等边性质结论:∠ABC=45°,∠BAC=45°,则AC=BC;
根据题目中的条件:CE⊥AD,则∠AEC=90°;
根据题目中的条件和结论:∠AEC=90°,∠AEC+∠CAE+∠ACE=180°,则∠CAE+∠ACE=90°;
根据题目中的条件:∠ACB=90°,∠ACB=∠ACE+∠BCF,则∠ACE+∠BCF=90°;
根据结论:∠CAE+∠ACE=90°,∠ACE+∠BCF=90°,则∠CAE=∠BCF;
根据题目中的条件和结论:∠ABC=45°,∠ACG=45°,则∠ACG=∠ABC;
根据全等三角形的判定和结论:两组角及其夹边分别相等的两个三角形全等,∠CAE=∠BCF,AC=BC,∠ACG=∠ABC,则△ACG≌△BCF;
根据全等三角形的性质和结论:全等三角形的对应边相等,△ACG≌△BCF,则CG=BF;
根据题目中的条件:D为BC的中点,则CD=BD;
根据结论:∠DCG=45°,∠ABC=45°,则∠DCG=∠ABC;
根据全等三角形的判定和结论:两组边及其夹角分别相等的两个三角形全等,CG=BF,∠DCG=∠ABC,CD=BD,则△ACG≌△BCF;
根据全等三角形的性质和结论:全等三角形的对应角相等,△ACG≌△BCF,则∠ADC=∠BDF。
例题2
如图,在△ABC中,CD,BE分别是边AB,AC上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点。
(1)求证:MN⊥DE;
(2)连接DM,ME,猜想∠BAC与∠DME之间的关系,并写出推理过程。
1、证明:MN⊥DE
连接MD,ME
根据题目中的条件:CD,BE分别是边AB,AC上的高,则∠CDB=∠BED=90°;
根据题目中的条件:M,N分别是线段BC,DE的中点,则BM=CM,DN=EN;
根据直角三角形的性质和结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,∠CDB=∠BED=90°,BM=CM,则DM=BM=BC/2,EM=CM=BC/2;
根据结论:DM=BC/2,EM=BC/2,则DM=EM,即△DME为等腰三角形;
根据等腰三角形的性质和结论:等腰三角形底边上的中线也是底边上的高,△DME为等腰三角形,N是线段DE的中点,则MN⊥DE。
2、证明∠BAC与∠DME之间的关系
根据等边对等角性质和结论:DM=BM,DN=EN,则∠MBD=∠MDB,∠MCE=∠MEC;
根据题目中的条件和结论:∠MBD=∠MDB,∠MBD+∠MDB+∠BMD=180°,则∠BMD=180°-2∠MBD;
根据题目中的条件和结论:∠MCE=∠MEC,∠MCE+∠MEC+∠CME=180°,则∠CME=180°-2∠MCE;
根据题目中的条件和结论:∠BMD=180°-2∠MBD,∠CME=180°-2∠MCE,∠BMD+∠CME+∠DME=180°,则∠DME=180°-(∠BMD+∠CME)=2(∠MBD+∠MCE)-180°;
根据题目中的条件:∠BAC+∠MBD+∠MCE=180°,则∠MBD+∠MCE=180°-∠BAC;
根据结论:∠DME=2(∠MBD+∠MCE)-180°,∠MBD+∠MCE=180°-∠BAC,则∠DME=180°-2∠BAC。
结语
等腰三角形的性质应用相当广泛,只要认真审题,合理添加辅助线,构造出等腰三角形,并结合全等三角形、直角三角形的性质,就可以轻松应对几何证明难题。