已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；
图1
（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；
图2
（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN^2=NC·AC．
图3
解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，
∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠ANH=∠OND，
∴∠ANH+∠ODN=90°，
∵DH⊥AE，
∴∠DHM=90°，
∴∠ANH+∠OAM=90°，
∴∠ODN=∠OAM，
∴△DON≌△AOM，
∴OM=ON；
（2）如图，连接MN，
∵EN∥BD，
∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，
∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，
∵OD=OD，
∴DM=CN=EN，
∵EN∥DM，
∴四边形DENM是平行四边形，
∵DN⊥AE，
∴DENM是菱形，
∴DE=EN，
∴∠EDN=∠END，
∵EN∥BD，
∴∠END=∠BDN，
∴∠EDN=∠BDN，
∵∠BDC=45°，
∴∠BDN=22.5°，
∵∠AHD=90°，
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，
∵∠ABM=45°，
∴∠BAM=67.5°=∠AMB，
∴BM=AB；
（3）设CE=a（a＞0）
∵EN⊥CD，
∴∠CEN=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠CNE=45°=∠ACD，
∴EN=CE=a，
∴CN=√2a，
设DE=b（b＞0），
∴AD=CD=DE+CE=a+b，
根据勾股定理得，AC=√2AD=√2（a+b），
同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，
∵∠OAD=∠ODC=45°，
∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，
∴△DEN∽△ADE，
∴DE/AD＝EN/DE.
即b/(a+b)＝a/b.
∴a=(√5-1)b/2.
所以
所以
∴AN=AC﹣CN=√2b，
∴AN^2=2b^2，
∴AN^2=AC·CN.
