已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N.
(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO;
图1
(2)如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证:BM=AB;
图2
(3)在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证:AN^2=NC·AC.
图3
解:(1)∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O,
∴OD=OA,∠AOM=∠DON=90°,
∴∠OND+∠ODN=90°,
∵∠ANH=∠OND,
∴∠ANH+∠ODN=90°,
∵DH⊥AE,
∴∠DHM=90°,
∴∠ANH+∠OAM=90°,
∴∠ODN=∠OAM,
∴△DON≌△AOM,
∴OM=ON;
(2)如图,连接MN,
∵EN∥BD,
∴∠ENC=∠DOC=90°,∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD,
∴EN=CN,同(1)的方法得,OM=ON,
∵OD=OD,
∴DM=CN=EN,
∵EN∥DM,
∴四边形DENM是平行四边形,
∵DN⊥AE,
∴DENM是菱形,
∴DE=EN,
∴∠EDN=∠END,
∵EN∥BD,
∴∠END=∠BDN,
∴∠EDN=∠BDN,
∵∠BDC=45°,
∴∠BDN=22.5°,
∵∠AHD=90°,
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°,
∵∠ABM=45°,
∴∠BAM=67.5°=∠AMB,
∴BM=AB;
(3)设CE=a(a>0)
∵EN⊥CD,
∴∠CEN=90°,
∵∠ACD=45°,
∴∠CNE=45°=∠ACD,
∴EN=CE=a,
∴CN=√2a,
设DE=b(b>0),
∴AD=CD=DE+CE=a+b,
根据勾股定理得,AC=√2AD=√2(a+b),
同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN,
∵∠OAD=∠ODC=45°,
∴∠EDN=∠DAE,∵∠DEN=∠ADE=90°,
∴△DEN∽△ADE,
∴DE/AD=EN/DE.
即b/(a+b)=a/b.
∴a=(√5-1)b/2.
所以
所以
∴AN=AC﹣CN=√2b,
∴AN^2=2b^2,
∴AN^2=AC·CN.