已知函数f（x）=lnx+a/x（a＞0）．
（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 证明：当a≥2/e，b＞1时，f（lnb）＞1/b．
解：（Ⅰ）法1：函数f（x）=lnx+a/x的定义域为（0，+∞）．
由f（x）=lnx+a/x，得f（x）=1/x-a/x2=(x-a)/x2．…
因为a＞0，则x∈（0，a）时，f（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f（x）＞0．
所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…
当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…
当lna+1≤0，即0＜a≤1/e时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…
所以实数a的取值范围为（0，1/e]．…
法2：函数f（x）=lnx+a/x的定义域为（0，+∞）．
由f（x）=lnx+a/x=0，得a=﹣xlnx．…
令g（x）=﹣xlnx，则g（x）=﹣（lnx+1）．
当x∈（0，1/e）时，g（x）＞0； 当x∈（1/e,+∞）时，g（x）＜0．
所以函数g（x）在（0，1/e）上单调递增，在（1/e,+∞）上单调递减．…
故x=1/e时，函数g（x）取得最大值g(1/e)=-1/e·ln(1/e)=1/e．…
因而函数f（x）=lnx+a/x有零点，则0＜a≤1/e．…
所以实数a的取值范围为（0，1/e]．…
（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h（x）=lnx+1．
当0＜x＜1/e时，h（x）＜0；当x＞1/e时，h（x）＞0．
所以函数h（x）在（0，1/e）上单调递减，在（1/e,+∞）上单调递增．
当x=1/e时，[h(x)]min=-1/e+a．…
于是，当a≥2/e时，h(x)≥-1/e+a≥1/e．①…
令φ（x）=xe﹣x，则φ（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．
当0＜x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＜0．
所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
当x=1时，[Ф(x)]max=1/e．…
于是，当x＞0时，Ф(x)≤1/e．②…
显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．
故当x＞0，a≥2/e时，xlnx+a＞xe﹣x．…
因为b＞1，所以lnb＞0．
所以lnbln（lnb）+a＞lnbe﹣lnb．…
所以ln（lnb）+a/lnb＞1/b，即f（lnb）＞1/b．…
考点分析：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
题干分析：
（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；
（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．
