函数的最值:
1、在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
2、若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
典型例题分析:
已知函数f(x)=x2﹣ax,g(x)=b+aln(x﹣1),存在实数 a(a≥1),使y=f(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点,则实数b的取值范围为 .
解:若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点,
则等价为f(x)﹣g(x)>0
或f(x)﹣g(x)<0恒成立,
即x2﹣ax﹣b﹣aln(x﹣1)>0
或x2﹣ax﹣b﹣aln(x﹣1)<0恒成立,
即x2﹣ax﹣aln(x﹣1)>b
或x2﹣ax﹣aln(x﹣1)<b恒成立,
设h(x)=x2﹣ax﹣aln(x﹣1),
则函数h(x)的定义域为(1,+∞),
函数的导数h′(x)=2x﹣a﹣a/(x-1)=2x{(x-(a+2)/2)}/(x-1),
当a≥1时,(a+2)/2≥3/2,
故x∈(1,(a+2)/2)时,h′(x)<0,
x∈((a+2)/2,+∞)时,h′(x)>0,
即当x=(a+2)/2时,
函数h(x)取得极小值同时也是最小值h((a+2)/2)=a2/4,
设G(a)=h((a+2)/2)=﹣a2/4,
则G(a)在[1,+∞)上为减函数,
G(a)的最大值为G(1)=3/4,
故h(x)的最小值h((a+2)/2)≤3/4,
则若x2﹣ax﹣aln(x﹣1)>b,
则b<3/4+ln2,
若x2﹣ax﹣aln(x﹣1)<b恒成立,则不成立,
综上b<3/4+ln2.
故答案为:(﹣∞,3/4+ln2).
考点分析:
导数在最大值、最小值问题中的应用.
题干分析:
若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点,则等价为f(x)﹣g(x)>0或f(x)﹣g(x)<0恒成立,利用参数分离法,转化为求函数的最值,构造函数,求函数的导数,利用导数进行求解即可.