已知函数f(x)=ex/x.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点P(2,e2/2)处的切线方程;
(Ⅱ)证明:f(x)>2(x﹣lnx).
考点分析:
导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.
题干分析:
(Ⅰ)通过导函数求解切线的斜率,得到切点坐标,然后求解切线方程.
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)-2(x-lnx)=ex/x-2x+2lnx,
g’(x)=(ex-2x)(x-1)/x2,x∈(0,+∞),
设h(x)=ex﹣2x,x∈(0,+∞),求出导函数,通过导函数的符号,求解g(x)min=g(1)=e﹣2>0,从而证明结果.
解题反思:
导数的应用已成为高考的一个热点,它是高中数学学习的重点内容,它的引入对函数的单调性、极值、最大(小)值的研究开辟了一条捷径,也为数学的学习增添了色彩,它能使比较复杂的问题简单化,使数学问题与实际应用更加紧密。