数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略,它体现了数学的和谐美、统一美.数、式能反映图形的准确性,图形能增强数、式的直观性我图著名数学家华罗庚曾概括:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺型时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离.。
一、利用图形性质将代数问题化为几何图形问题
在待解的代数问题中,从数量所涉及的几何意义出发,构造几何图形,使题设条件及数量关系直接在图形中得到体现,然后借助于图形的直观形象和性质进行推理和论证,使问题得到解决.其解题过程实质上是代数语言向图形语言转换的过程.构造几何图形解代数问题,关键在于对数量关系作恰当的几何解释
在初中阶段常用的数与形之间的关系有(在此所有字母都表示正数):
1.形如a+b=c的式子,看作在线段c上取一点,把线段c分成线段a和b两部分。
2.对于代数式a2,ab,ab.可分别构造边长为a的正方形,长为a宽为b的矩形,一边长为a,此边上的高为b的三角形。
3.形如
的式子,它反映的是以a,b为直角边的直角三角形的斜边。
4.x2=ab(或
)可看作是直角三角形中的比例线段(射影定理)或圆的切线和割线的关系(切割线定理)。
5.对于式子ab=cd可看作相似三角形的对应边之间的关系。
6.、、等,可理解为边长1的正方形网格的格点距离。
7.最优化问题可转化为几何极值问题。
8.对于不等式a>b,a+b>c,可看作斜线段大于垂线段,三角形两边之和大于第三边等。
例1.用几何图形表示平方差公式．
例2.“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式
的最小值．
解析：
和
是勾股定理的形式，
是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，
是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1）向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=12，AC=3，DF=2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”，根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
小结：本题利用代数式
的形式特点，把它转化成为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数式问题，这就是建模思想与数形结合思想，回答下面问题：
（1）请你完成例题的解答；
（2）变式训练：求代数式
的最小值；
（3）拓展练习：解方程
（利用几何方法解答）
例2.如图，每一个小正方形的边长都为1。
（1）在图上画出表示
、
的线段；
（2）比较
与
大小。
分析：（1）因为
，所以
表示以1、1为直角边的
三角形的斜边，如图AB即为所画的线段。
∵
∴画表示
的线段时，只要把1和2看成直角边时，斜边CD即为所画的线段。
（2）类同的方法图中线段EF=
，FG=
，GH=
，EH=
。
∵两点之间线段最短，
∴
＞
。
一、利用方程将代数问题化为几何图形问题
利用方程将代数问题化为几何问题初中价段常见的应用题,如行程问题、工程问题、溶液问题等这些问题中的基本关系量分别是路程=速度×时间,工作量=工作效率×时间,溶质=溶液×质量分数这三个基本关系式,可统一表示成:X=YZ,对于这个关系式,我们常常建立平面直角坐标系,画函数图象解决问题本讲的主要知识点有:
L、以二元一次方程ax+by=c的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=x+b(点≠0)的图象,它是一条直线;
2在一次函数y=kx+b(k≠0)中,求当自变量x取何值时,函数值为0、即解一元一次方程kx+b=0,这个方程的根就是一次函数y=kx+b（k≠0)的图象与x轴交点的横坐标;
3.则于一元二次方程,我们常常与二次函数相联系、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标
4.两个函数图象的交点坐标,就是由这两个图象的解析式组成的方
程组的解、如直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标,就是二元一次的解。
例4．方程组
的实数解有 个．
解：在同一坐标系中,画出反比例函数
y=和二次函数y=x2-3x-4的大致图象,由图可知,两个图象只有一个交点,所以原方程组只有一组解。
例5．江堤边一洼地发生管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机40分钟可抽完；如果用4台抽水机16分钟可抽完；如果要在10分钟内抽完，至少需要多少台抽水机？
