解答题已知函数．（Ⅰ）当a=-1时 求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）

问题补充：

解答题已知函数．

（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

答案：

解：（I）当a=-1时，函数，

∴f（x）==，

∵函数的定义域为（0，+∞），可得当x∈（1，+∞）时f（x）＞0

∴函数f（x）的增区间为（1，+∞）

（II）∵，

∴f（x）==

∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，

∴f（x）=＞0在（0，+∞）上恒成立

由x＞0且x+1＞0，可得x+a＞0在（0，+∞）上恒成立

∴a≥0，即实数a的取值范围是[0，+∞）．解析分析：（I）当a=-1时，，从而得到f（x）==0的根为x=1，然后在（0，1）和（1，+∞）上分别讨论的正负，即可得到函数f（x）的增区间为（1，+∞）；（II）将函数f（x）求导数，得f（x）=，结合函数的定义域（0，+∞）可得x＞0且x+1＞0，从而x+a＞0在（0，+∞）上恒成立，所以实数a的取值范围是[0，+∞）．点评：本题给出含有字母参数的基本初等函数，讨论了函数的单调性，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数恒成立等知识点，属于中档题．