解答题已知函数（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2 +∞）上是单调递增函数 试求

问题补充：

解答题已知函数（a∈R）．

（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；

（2）当a=2时，求证：（x＞2）；

（3）求证：（n∈N*且n≥2）．

答案：

解：（1）因为，若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即恒成立，所以．

又x∈[2，+∞），则，所以a≥1．

（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数在[2，+∞）上是增函数，

所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即，则．

令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有，

当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，

因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，

即可得到2x-4＞2ln（x-1）．

综上有（x＞2）．

（3）在（2）的结论中令，则，

取t=1，2，…，n-1，（n∈N*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，，

所以，

即（n∈N*且n≥2）解析分析：（1）先求导函数，要使函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，分离参数可得恒成立，所以，由于x∈[2，+∞），可知，从而问题得解．（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数在[2，+∞）上是增函数，所以当x＞2时，f（x）＞f（2），从而不等式左边得证，构造函数g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有，可知g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，从而不等式右边成立，故得证（3）在（2）的结论中令，则，取t=1，2，…，n-1，（n∈N*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，即可证得．点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查利用导数证明不等式，同时考查换元思想，其中利用函数的单调性证明不等式是解题的关键，也是难点．