问题补充:
已知函数f(x)=xex.
(I)求f(x)的单调区间与极值;
(II)是否存在实数a使得对于任意的x1,x2∈(a,+∞),且x1<x2,恒有成立?若存在,求a的范围,若不存在,说明理由.
答案:
解:(I)由f′(x)=e(x+1)=0,得x=-1;
当变化时的变化情况如下表:可知f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),递增区间为(-1,+∞),
f(x)有极小值为f(-1)=-,但没有极大值.
(II)令g(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)=(xex-aea)/(x-a),x>a,
则[f(x2)-f(a)]/(x2-a)>[f(x1)-f(a)]/(x1-a)恒成立,
即g(x)在(a,+∞)内单调递增这只需g′(x)>0.而g′(x)=[ex(x2-ax-a)+aea]/(x-a)2
记h(x)=ex(x2-ax-a)+aea,
则h′(x)=ex[x2+(2-a)x-2a]=ex(x+2)(x-a)
故当a≥-2,且x>a时,h′(x)>0,h(x)在[a,+∞)上单调递增.
故h(x)>h(a)=0,从而g′(x)>0,不等式(*)恒成立
另一方面,当a<-2,且a<x<-2时,h′(x)<0,h(x)在[a,-2]上单调递减又h(a)=0,所以h(x)<0,
即g′(x)<0,g′(x)在(a,-2)上单调递减.
从而存在x1x2,a<x1<x2<-2,使得g(x2)<g(x1)
∴a存在,其取值范围为[-2,+∞)
解析分析:(I)利用函数的求导公式求出函数的导数,根据导数求函数的单调性和极值.(II)构造函数g(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)=(xex-aea)/(x-a),x>a,求出函数导数,判断函数导函数的值与0的关系,根据导函数的单调性,求a的取值范围.
点评:该题考查函数的求导,以及在解答过程中构造函数,注意第二问中自变量x的取值范围.
已知函数f(x)=xex.(I)求f(x)的单调区间与极值;(II)是否存在实数a使得对于任意的x1 x2∈(a +∞) 且x1<x2 恒有成立?若存在 求a的范围