问题补充:
已知函数f(x)=,其中a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a使f(x)<1在x∈R+上恒成立?若存在求出a的取值范围;若不存在说明理由.
答案:
解:(1)f′(x)=,设g(x)==1--ln(1+x),
则g′(x)=(1+x)-2-=.
可知g(x)在(-1,0)上递增,在(0,+∞)上递减,
所以f(x)在(-1,0),(0,+∞)上是减函数,
即f(x)的单调递减区间为(-1,0),(0,+∞).
(2)若f(x)<1在x∈R+上恒成立,即ln(1+x)<ax在R+上恒成立.
设h(x)=ln(1+x)-ax(x∈R+),则h′(x)=-a,
①若a≥1,则x∈R+时,h′(x)<0恒成立,所以h(x)<h(0)=0符合题意;
②若a≤0,显然不符合题意;
③若0<a<1,则h′(x)=-a=0,有x=-1,所以x∈(0,)时h′(x)≥0,
所以y=h(x)在[0,-1]上为增函数,当x∈[0,-1]时,h(x)>h(0)=0,所以不符合题意.
综上,a≥1.
解析分析:(1)在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即得到函数的单调区间;(2)若f(x)<1在x∈R+上恒成立,即ln(1+x)<ax在R+上恒成立.构造函数h(x)=ln(1+x)-ax(x∈R+),只需找满足不等式h(x)<0的a值即可.
点评:本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题,不等式的证明问题常转化为函数的最值处理.
已知函数f(x)= 其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a使f(x)<1在x∈R+上恒成立?若存在求出a的取值范围;若不存在说明理由.