问题补充:
△ABC中,AC=BC.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G.直线DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)如果BC=10,AB=12,求CG的长.
答案:
解:如图,连接OD,CD,BG,
(1)∵BC为⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,
∵DF⊥AC,
∴∠AFD=90°,
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∴∠BCD=∠ADF,
∵∠ADF=∠EDB,
∵OC=OD,
∴∠BCD=∠ODC,
∴∠ODC=∠EDB,
∴∠ODC+∠BDO=90°,
∴∠EDB+∠BDO=90°,
即∠EDO=90°,
∴OD⊥EF,
∴EF与⊙O相切,
(2)∵BC为⊙O的直径,
∴BG⊥AC,
∵∠A=∠ABC,
∴△ABG∽△BCD,
∴,
∵OD⊥EF,AC⊥EF,
∴OD∥AC,
∵OB=OC,
∴BD=AD,
∵AB=12,
∴BD=AD=6,
∵BC=10,
∴AC=BC=10,
∴,
∴AG=7.2,
∴CG=AC-AG=10-7.2=2.8.
解析分析:根据题意做出辅助线连接OD,CD,BG,(1)由圆周角定理和垂直的性质推出∠BDC=∠AFD=90°,再由等腰三角形的性质推出∠A=∠ABC,根据余角的性质即可推出∠BCD=∠ADF,由∠ADF=∠EDB,OC=OD,推出∠BCD=∠ODC,通过等量代换即可推出∠EDB+∠BDO=90°,即OD⊥EF,从而推出EF与⊙O相切,(2)由BG⊥AC,∠A=∠ABC,推出△ABG∽△BCD,求得比例式,根据OD⊥EF,AC⊥EF,推出OD∥AC,根据平行线等分线段定理推出BD=AD后,结合已知即可求出BD=AD=6,由AC=BC=10,即可求出AG=7.2,结合图形即可推出CG=AC-AG=10-7.2=2.8.
点评:本题主要考察相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定、余角的概念与性质、等腰三角形的性质及平行线的性质等知识点,关键在于运用数形结合的思想,结合相关性质定理,正确的做出辅助线,推出∠ODC=∠EDB,
OD⊥EF;通过求证△ABG∽△BCD,正确的推出关于对应边的比例式.
△ABC中 AC=BC.以BC为直径作⊙O交AB于点D 交AC于点G.直线DF⊥AC 垂足为F 交CB的延长线于点E.(1)判断直线EF与⊙O的位置关系 并说明理由;