问题补充:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O是斜边AB上的一点,圆O过点A并与边BC相切于点D,与边AC相交于点E.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若圆O的半径为4,∠B=30°,求AC长.
答案:
解:(1)连接DF,OD,则∠ADF=90°,
因为BC是⊙O的切线,
所以∠CDA=∠DFA,△ACD≌△ADF,∠CAD=∠DAB.
即AD是∠CAB的角平分线.
(2)∵∠B=30°,
∴∠CAB=60°;由(1)可知AD是∠CAB的平分线,
故∠CAD=∠DAB=30°;在Rt△ADF中,∠DAB=30°,AF=2×4=8.
故AD=AF?cos30°=8×=4.
同理,AC=AD?cos30°=4×=6.故AD=4.AC=6.
解析分析:(1)连接DF,OD,构造出直角三角形,根据弦切角定理可知∠CDA=∠DFA,∠C=∠ADF,AD=AD;故△ACD≌△ADF,则AD是∠CAB的角平分线.
(2)因为∠B=30°,所以∠CAB=60°;由(1)可知AD是∠CAB的平分线,故∠CAD=∠DAB=30°;在Rt△ADF中,∠DAB=30°,AF=2×4=8.根据三角函数值的定义可求出AD,AC的值.
点评:本题考查的是直角三角形及切线的性质,在解答此类题目时要注意添加辅助线,构造直角三角形.
如图 在Rt△ABC中 ∠C=90° O是斜边AB上的一点 圆O过点A并与边BC相切于点D 与边AC相交于点E.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若圆O的半径为4