已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（I）当a=1时 求函数f（x）的单调区间；（II）若

问题补充：

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．

（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g（x）=x3+x2[]在区间（2，3）上总存在极值？

答案：

解：求导数可得：f（x）=（a＞0）

（I）当a=1时，，

令f（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间是（0，1）；

令f（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）的单调递减区间是（1，+∞）．

（II）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，所以f（2）=1．

所以a=-2，∴f（x）=．?

∴函数g（x）=x3+x2[]=x3+x2[]=x3+x2-2x，

∴g（x）=3x2+（m+4）x-2

∵函数g（x）=x3+x2[]在区间（2，3）上总存在极值，g（0）=-2＜0

∴只需

∴．

解析分析：（I）求导数，利用导数的正负，可确定函数f（x）的单调区间；（II）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，求导函数，利用函数g（x）=x3+x2[]在区间（2，3）上总存在极值，建立不等式组，即可求得m的取值范围．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（I）当a=1时 求函数f（x）的单调区间；（II）若函数y=f（x）的图象在点（2 f（2））处的切线的倾斜角为45