问题补充:
如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D,过D作DE⊥AC于E.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE是⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为3,切线长DE=,求cos∠C的值.
答案:
(1)证明:连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°①,
又∵D是BC的中点,
∴BD=CD②,
而AD=AD③,
由①②③得△ABD≌△ACD(SAS),
∴AB=AC;
(2)证明:连接OD,
∵O是AB的中点,D是BC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∴∠ODE=∠CED=90°,
即DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线;
(3)解:在Rt△AED中,∠4+∠3=90°,
在Rt△ADC中,∠C+∠3=90°,
∴∠4=∠C,
又∵∠2=∠1,
∴△AED∽△DEC,
∴④,
∵⊙O的半径为3,
∴AB=AC=6,
设AE=x,则CE=6-x,
又,
代入④得,
解得x1=2,x2=4,
①当AE=x1=2时,CE=6-2=4,
在Rt△DEC中,=,
∴,
②当AE=x2=4时,CE=6-4=2,=,
∴.
解析分析:(1)连接AD,AB是直径可得∠ADB=∠ADC=90°,而D是中点则有BD=CD,结合AD=AD,易证△ABD≌△ACD,从而有AB=AC;
(2)连接OD,由O、D是中点易证OD是△ABC的中位线,那么OD∥AC,于是∠ODE=∠CED=90°,即DE是⊙O的切线;
(3)由于∠4+∠3=90°,∠C+∠3=90°,易得∠4=∠C,而∠1=∠2,易证△AED∽△DEC,从而有,由于OA=3,那么AB=AC=6,于是可设AE=x,则CE=6-x,代入比例关系式,易求得x1=2,x2=4,从而可分两种情况来讨论:①当AE=x1=2时,CE=6-2=4,利用勾股定理可先求CD,从而易求cos∠C;②当AE=x2=4时,CE=6-4=2,解法同①.
点评:本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数的计算.解题的关键是连接OD、AD,构造直角三角形和平行线.
如图 以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D 过D作DE⊥AC于E.(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE是⊙O的切线;(3)若⊙O的半径为3 切线长DE=