问题补充:
已知,如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,在BD上取BE=BO,连接AE,若∠BOE=75°,求:
(1)∠OBE的度数.
(2)说明△OAB的等边三角形的理由.
(3)△ABE是什么三角形?为什么?
(4)求∠CAE的度数.
答案:
(1)解:∵BE=BO,∠BOE=75°,
∴∠BEO=∠BOE=75°,
∴∠OBE=180°-∠BOE-∠BEO=30°;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,
∴OA=OB,
∴∠ABO=∠ABC-∠OBE=90°-30°=60°,
∴△OAB的等边三角形;
(3)△ABE是等腰直角三角形.
证明:∵△OAB的等边三角形,
∴OB=AB,
∵BO=BE,
∴AB=BE,
∵∠ABC=90°,
∴△ABE是等腰直角三角形;
(4)解:∵△ABE是等腰直角三角形,△OAB的等边三角形,
∴∠BAE=45°,∠BAO=60°,
∴∠CAE=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°.
解析分析:(1)由BE=BO,∠BOE=75°,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠OBE的度数;
(2)由四边形ABCD是矩形,即可∠ABC=90°,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,可得OA=OB,又由∠ABO=∠ABC-∠OBE=60°,即可判定△OAB的等边三角形;
(3)易证得AB=BE,∠ABE=90°,即可得△ABE是等腰直角三角形;
(4)由△ABE是等腰直角三角形,△OAB的等边三角形,即可求得∠CAE的度数.
点评:此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
已知 如图 在矩形ABCD中 对角线AC BD相交于点O 在BD上取BE=BO 连接AE 若∠BOE=75° 求:(1)∠OBE的度数.(2)说明△OAB的等边三角形