问题补充:
如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为M,对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(-3,0)和B.将抛物线y=x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°,点M1,A1为点M,A旋转后的对应点,旋转后的抛物线与y轴相交于C,D两点.
(1)写出点B的坐标及求抛物线y=x2+bx+c的解析式;
(2)求证:A,M,A1三点在同一直线上;
(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点,是否存在一点P,使四边形PM1MD的面积最大?如果存在,请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积;如果不存在,请说明理由.
答案:
(1)解:∵抛物线y=x2+bx+c的顶点为M,对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(-3,0)和B,
∴点B的坐标为(5,0),
解得,
∴抛物线解析式为y=x2-x-.
(2)证明:由题意可得:把x=1代入抛物线解析式y=x2-x-,
得:y=-4
则点M的坐标为(1,-4),
根据旋转和图象可得:点M1的坐标为(9,-4),
点A1的坐标为(5,-8),
设直线AM的表达式为y=kx+m.
则有,
解得,
则直线AM的表达式为y=-x-3.
把x=5代入y=-x-3,得y=-8.
即直线AM经过点A1.
故A,M,A1三点在同一直线上.
(3)解:存在点P使四边形PM1MD的面积最大.连接M1D,
∵S△M1MD是定值,
∴要使四边形PM1MD的面积最大,只要S△M1PD最大,
将△M1PD绕点B顺时针旋转90°,则点M1与点M重合,
点P与点Q重合,点D与点F重合.点Q,F都在抛物线y=x2-x-,
∴点F的坐标为(-5,5),
过点Q作QR∥y轴交FM于点R,设点Q的坐标为(n,n2-n-),
设直线MF的表达式为y=px+q,
则有,
解得,
则直线MF的表达式为y=-x-,
设直线MF上有一点R(m,-m-),则
S△M1PD=×6×(-m--m2+m+),
=-m2-3m+,
=-(m+2)2+,
∴当m=-2时,S△M1PD最大=,
若m=-2时,m2-m-=-,
所以,点Q(-2,-),
故点P的坐标为(,-7),
∵点M的坐标为(1,-4),点M1的坐标为(9,-4),
∴S△DM1M的面积为×6×8=24,四边形PM1MD的面积为24+=,
∴存在点P(,-7)使四边形PM1MD的面积最大,面积最大值为.
解析分析:(1)根据抛物线的对称性即可写出B的坐标,根据对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(-3,0)代入即可得到方程-=1,0=-3b+c,解由这两个组成的方程,即可求出b、c的值,即可得到
如图 抛物线y=x2+bx+c的顶点为M 对称轴是直线x=1 与x轴的交点为A(-3 0)和B.将抛物线y=x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90° 点M1 A1为点