问题补充:
如图,在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB=,将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°,得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°,得到△OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1的面积最大?求出这时点P的坐标.
(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵AB⊥x轴,AB=3,tan∠AOB=,∴OB=4,
∴B(-4,0),B1(0,-4),A2(3,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2,
∴,
解得
∴抛物线的解析式为:y=x2+x-4.
(2)点P是第三象限内抛物线y=x2+x-4上的一点,
如答图1,过点P作PC⊥x轴于点C.
设点P的坐标为(m,n),则m<0,n<0,n=m2+m-4.
于是PC=|n|=-n=-m2-m+4,OC=|m|=-m,BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m.
S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC-S△OBB1
=×BC×PC+×(PC+OB1)×OC-×OB×OB1
=×(4+m)×(-m2-m+4)+×[(-m2-m+4)+4]×(-m)-×4×4
=m2-m=(m+2)2+
当m=-2时,△PBB1的面积最大,这时,n=,即点P(-2,).
(3)假设在第三象限的抛物线上存在点Q(x0,y0),使点Q到线段BB1的距离为.
如答图2,过点Q作QD⊥BB1于点D.
由(2)可知,此时△QBB1的面积可以表示为:(x0+2)2+,
在Rt△OBB1中,BB1==
∵S△QBB1=×BB1×QD=××=2,
∴(x0+2)2+=2,
解得x0=-1或x0=-3
当x0=-1时,y0=-4;当x0=-3时,y0=-2,
因此,在第三象限内,抛物线上存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为,这样的点Q的坐标是(-1,-4)或(-3,-2).
解析分析:(1)首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标,然后利用待定系数法求得抛物线的解析式;
(2)求出△PBB1的面积表达式,这是一个关于P点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值;值得注意的是求△PBB1面积的方法,如图1所示;
(3)本问引用了(2)问中三角形面积表达式的结论,利用此表达式表示出△QBB1的面积,然后解一元二次方程求得Q点的坐标.
点评:本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点.第(2)问起承上启下的作用,是本题的难点与核心,其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法,这种方法是压轴题中常见的一种解题方法,同学们需要认真掌握.
如图 在平面直角坐标系xOy中 AB⊥x轴于点B AB=3 tan∠AOB= 将△OAB绕着原点O逆时针旋转90° 得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的