问题补充:
已知△ABC中,AB=,AC=3,D是边AC上一点,且AD:DC=1:2,连接BD.
(1)求证:△ABD∽△ACB;
(2)若sin∠ACB=,试画出符合条件的大致图形,并求BD的长度?
答案:
解:(1)由AC=3,AD:DC=1:2,
得AD=1,CD=2,
∵∠BAD=∠CAB,=,==,
∴△ABD∽△ACB;
(2)如图①所示,过A点作BC的垂线,交CB的延长线于E点,
在△ACE中,
∵sin∠ACB==,AC=3,
∴AE=1,
由勾股定理,得CE==2,
在Rt△ABE中,AB=,由勾股定理,得BE==,
∴BC=CE-BE=2-=,
由(1)可知,△ABD∽△ACB,
∴=,即BD==.
如图②所示,过A点作BC的垂线,交CB于E点,
在△ACE中,
∵sin∠ACB==,AC=3,
∴AE=1,
由勾股定理,得CE==2,
在Rt△ABE中,AB=,由勾股定理,得BE==,
∴BC=CE+BE=2+=3,
由(1)可知,△ABD∽△ACB,
∴=,即BD=.
解析分析:(1)根据∠BAD=∠CAB,结合线段的比相等证明:△ABD∽△ACB;
(2)画出图象,过A点作BC的垂线,交CB的延长线于E点(或交CB于E),在△ACE中,已知sin∠ACB=,AC=3,可求AE,由勾股定理求CE,在Rt△ABE中,AB=,由勾股定理求BE,根据BC=CE-BE或(BC=CE+BE)求BC,再利用(1)中的相似三角形求BD.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是利用公共角,线段的比得到相似三角形,再利用相似三角形的性质解题.
已知△ABC中 AB= AC=3 D是边AC上一点 且AD:DC=1:2 连接BD.(1)求证:△ABD∽△ACB;(2)若sin∠ACB= 试画出符合条件的大致图形