问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,对称轴为x=2的抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一点C.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点M的坐标;
(2)将(1)中的抛物线在x轴下方部分沿着x轴翻折,点M的对应点为M′.
①判断点M′是否落在直线AB上,并说明理由;
②若点P(m,n)是直线AB上的动点,点Q是(1)中抛物线上的动点,是否存在点P,使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)当x=0时,y=-0+3,则y=3
∴B(0,3)
当y=0时,0=-x+3,则x=3
∴A(3,0)
设对称轴与x轴相交于点H,
∴H(2,0)
∴AH=1
根据抛物线的对称性可知CH=1
∴OC=1
∴C(1,0)
解得
抛物线的解析式为:y=x2-4x+3
y=(x-2)2-1
∴M(2,-1)
(2)①∵点M与点M′关于x轴对称
∴M′(2,1)
∴MM′=2
当x=2时,y=-2+3=1,
∴M′在直线AB上
②存在,
当以MM′为四边形的对角线时,
∵HM=HM′=1,CH=AH=1
∴四边形CMAM′是平行四边形,此时P、Q分别于A、C重合
∴P(3,0)
当以MM′为边时
要使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形是平行四边形
∴PQ∥MM′,PQ=MM′
∵P、Q是直线AB和(1)抛物线上的动点
∴P、Q的坐标分别为(m,-m+3)(m,m2-4m+3)
∴PQ=MM′=2
∴|m2-4m+3-(-m+3)|=2
∴m2-3m=±2
由m2-3m=2得m=
∴P(,)或(,)
由m2-3m=-2得m=1或2
当m=2时,点P与M′重合,舍去.
P(1,2)
综上所述,∴P1(3,0),P2(,),P3(,),P4(1,2)
解析分析:(1)根据直线的解析式可以求出A点B点的坐标,然后根据对称轴和A点坐标及抛物线的对称性可以求出C点的坐标,再根据ABC的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式,最后化成顶点式就可以求出顶点坐标.
(2)①根据轴对称求出M′的坐标,将该坐标代入直线的解析式判断M′是否在直线上,使问题解决.
②根据平行四边形的性质分两种情况;当MM′是对角线和是边时两种不同的情况求出P点的相应坐标.
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求抛物线的解析式,抛物线的图象特征的运用,轴对称的性质,平行四边形的性质与判定.
如图 在平面直角坐标系中 直线y=-x+3与x轴 y轴分别交于A B两点 对称轴为x=2的抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点 与x轴交于另一点C.(1)求该抛物