问题补充:
如图,点I是△ABC的内心,AI交BC于D,交△ABC的外接圆于点E.
①求证:IE=BE;
②线段IE是哪两条线段的比例中项,试加以证明.
答案:
①证明:连接BI.
∵I是△ABC的内心,
∴∠1=∠2,∠3=∠4;
∵∠BIE=∠3+∠2,∠EBI=∠4+∠5,且∠5=∠1,
∴∠BIE=∠EBI;
∴IE=BE;
②解:考虑有公共边公共角的相似三角形及IE=BE,知:IE是DE和AE的比例中项.
证明如下:
∵∠5=∠1,∠1=∠2;
∴∠5=∠2;
又∵∠E=∠E,
∴△BED∽△AEB;
∴BE:DE=AE:BE;
∴BE2=AE?DE;
又∵IE=BE,
∴IE2=AE?DE.
解析分析:①连接BI,证∠BIE=∠IBE即可;∠IBE=∠4+∠5,∠BIE=∠2+∠3;观察上述两个式子:I是△ABC的内心,则∠3=∠4,∠1=∠2;而∠1=∠5,由此可得∠5=∠2;即∠BIE=∠IBE,由此得证;
②由①知:IE=BE,即证BE是哪两条线段的比例中项,可通过找以BE为公共边的相似三角形;由①证得∠5=∠2,易证得△BDE∽△ABE,由此可得出所求的结论.
点评:此题主要考查了三角形内心的性质、圆周角定理及相似三角形的判定和性质.
如图 点I是△ABC的内心 AI交BC于D 交△ABC的外接圆于点E.①求证:IE=BE;②线段IE是哪两条线段的比例中项 试加以证明.