问题补充:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E.
(1)求证:∠ABD=∠CBD;
(2)若∠C=2∠E,求证:AB=DC;
(3)在(2)的条件下,sinC=,AD=,求四边形AEBD的面积.
答案:
(1)证明:∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD
∵AB=AD
∴∠ADB=∠ABD
∴∠ABD=∠CBD;
(2)证明:∵AE∥DB
∴∠E=∠CBD
由(1)得∠ABD=∠CBD
∴∠ABC=2∠CBD=2∠E
又∵∠C=2∠E
∴∠ABC=∠C
∴在梯形ABCD中,AB=DC;
(3)解:过D作DF⊥BC,垂足为F,由sinC=,得=
由(2)得CD=AB,又∵AB=AD=,
∴CD=,DF=
∵AD∥BC,AE∥DB
∴四边形AEBD是平行四边形
∴S四边形AEBD=AD?DF=×=.
解析分析:(1)由两直线AD∥BC,推知内错角∠ADB=∠CBD;在△BAD中,根据等边AB=AD,推知等角∠ADB=∠ABD;所以由等量代换证得∠ABD=∠CBD;(2)由两直线AE∥DB,推知同位角∠E=∠CBD;利用(1)的结果、等量代换求得∠ABC=2∠CBD=2∠E;根据已知条件知∠ABC=∠C,最后根据等腰梯形的性质知AB=DC;(3)过D作DF⊥BC,垂足为F,构造四边形AEBD的高.在直角三角形CDF中,利用角的三角函数值的意义求得=;利用(2)的结论以及勾股定理求得CD=,DF=;最后根据平行四边形的判定定理知四边形AEBD是平行四边形,再由平行四边形的面积公式:S=底×高,求得S四边形AEBD=AD?DF=.
点评:本题考查了梯形、解直角三角形.解答该题时,充分利用了平行线的性质:两直线平行,内错角(同位角)相等.
如图 在梯形ABCD中 AD∥BC AD=AB 过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E.(1)求证:∠ABD=∠CBD;(2)若∠C=2∠E 求证:AB=DC;(3)