问题补充:
如图,正三角形ABC内接于圆O,P是BC所对劣弧上一点,求证:PA=PB+PC.
答案:
证明:证法1:以A为顶点,将△ABP旋转至点B与点C重合,如图所示:
根据旋转的性质知,PA=AD;△BAP≌△CAD,
∴CD=PB,
∵内接四边形的对角和为180°,
∴∠PCD=∠ACP+∠ACD=∠ACP+∠ABP=180°,
∴PA=PB+PC.
证法2:在AP上截取PQ,使PQ=PC.以A为顶点,作AD=AP,连接CD.如图所示:
∵∠PAB+∠PAC=∠DAC+∠PAC,
∴∠BAC=∠PAD,
又∵AD=AP,AB=AC,
∴△APD∽△ABC,
∴△PAD是等边三角形.
∴∠APD=60°,
则△PCQ是正三角形,
∴QC=PC=QP,
∴△BPC≌△AQC,
则BP=AQ,
∴PA=PB+PC.
解析分析:以A为顶点,将△ABP旋转至点B与点C重合.根据旋转的性质易知PA=AD,∠BAP=∠CAD;然后根据全等三角形的判定定理SAS知△BAP≌△CAD,再由全等三角形的性质(全等三角形的对应边相等)得,CD=PB;根据以上的条件可知PA=PB+PC.
点评:本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.解答本题借助于旋转的性质,构建了与△APB全等的△CAD.