问题补充:
如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);
(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.
答案:
解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,
∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠PMC=∠QMB.
∴BQ=QM,PM=PC.
∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.
(2)∵PM∥AB,
∴△PCM∽△ACB,
∵QM∥AC,
∴△BMQ∽△BCA;
(3)当点M在BC的中点时,四边形APMQ是菱形,
∵AB∥MP,点M是BC的中点,
∴==,
∴P是AC的中点,
∴PM是三角形ABC的中位线,
同理:QM是三角形ABC的中位线.
∵AB=AC,
∴QM=PM=AB=AC.
又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,
∴平行四边形APMQ是菱形.
解析分析:(1)根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等,从而不难求得其周长;
(2)因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB,所以△PMC∽△QMB∽△ABC;
(3)根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形.
点评:此题主要考查了平行四边形的判定和性质,中位线的性质,菱形的判定等知识点的综合运用.
如图 在△ABC中 AB=AC=a M为底边BC上的任意一点 过点M分别作AB AC的平行线交AC于P 交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对