问题补充:
某公司试销一种成本为30元/件的新产品,按规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件,试销中每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足下表中的函数关系.
x(元/件)3540455055y(件)550500450400350(1)试求y与x之间的函数表达式;
(2)设公司试销该产品每天获得的毛利润为S(元),求S与x之间的函数表达式(毛利润=销售总价-成本总价);
(3)当销售单价定为多少时,该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大?最大毛利润是多少?此时每天的销售量是多少?
答案:
解:(1)解法1:设y与x之间的函数关系满足y=kx+b
把x=40,y=500;x=50,y=400
分别代入上式得:
,
解得
∴y=-10x+900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数,且函数表达式为y=-10x+900(30≤x≤80);
解法2:设y与x之间的函数关系满足y=ax2+bx+c
把x=35,y=550;x=40,y=500;x=50,y=400分别代入上式
得
解,得∴y=-10x+900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数,且函数表达式为y=-10x+900(30≤x≤80);
(2)方法1:毛利润S=(x-30)?y
=(x-30)(-10x+900)
=-10x2+1200x-27000(30≤x≤80)
方法2:毛利润S=xy-30y
=x?(-10x+900)-30×(-10x+900)
=-10x2+1200x-27000(30≤x≤80);
(3)在S=-10x2+1200x-27000中
∵a=-10<0,∴当时
∴S最大=-10×602+1200×60-27000=9000(元)
此时每天的销售量为:y=-10×60+900=300(件).
∴当销售单价定为60元/件时,该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大,最大毛利润是9000元,此时每天的销售量是300件.
解析分析:(1)方法一,根据图中表格可知:每天的销售单价x增加5元,销售量y减少50件,故每天的销售量y和销售单价x之间为一次函数的关系,故可用待定系数法将y与x之间的函数表达式求出;方法二,设y与x之间满足二次函数表达式,将表格中任意三个值代入,可将该函数求出;
(2)方法一,根据:毛利润=(每件产品的销售价-成本)×销售量,可求出S与x之间的函数表达式;方法二,根据:毛利润=销售总价-成本总价,也可求出S与x之间的函数表达式;
(3)由(2)知,当x=-时,二次函数能取得极值.
点评:本题主要考查待定系数法,函数、方程的数学思想,考查分析、探究、解决实际问题的能力及数学应用意识.
某公司试销一种成本为30元/件的新产品 按规定试销时的销售单价不低于成本单价 又不高于80元/件 试销中每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足下表中的函数关系