已知二次函数的图象开口向上且不过原点0 顶点坐标为（1 -2） 与x轴交于点A B 与y

问题补充：

已知二次函数的图象开口向上且不过原点0，顶点坐标为（1，-2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系式OC2=OA?OB．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求△ABC的面积．

答案：

解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1，-2），

设顶点式为y=a（x-1）2-2=ax2-2ax+a-2，A（x1，0），B（x2，0），

则x1x2=，C（0，a-2），

由OC2=OA?OB，得（a-2）2=|x1x2|=||，即a3-4a2+4a=|a-2|，

当0＜a＜2时，有a3-4a2+5a-2=0

即（a-1）2（a-2）=0，

解得a1=1或a2=2（舍去）

由a=1得y=x2-2x-1；

当a＞2时，有a3-4a2+3a+2=0

即（a-2）（a2-2a-1）=0

解得a1=2（舍去），a2=1+，a3=1-（舍去），

故a=1+，y=（1+）x2-（2+2）x+-1，

故 所求二次函数解析式为：y=x2-2x-1或y=（1+）x2-（2+2）x+-1；

（2）由S△ABC=|AB|?|OC|，有两种情况：

①当y=x2-2x-1时，

|AB|=|x1-x2|==2，

又|OC|=1，故S△ABC=×2×1=；

②当y=（1+）x2-（2+2）x+-1时，

|AB|=|x1-x2|==2，

又|OC|=-1，则

S△ABC=×2×（-1）=（-1）．

故所求△ABC的面积为（-1）或．

解析分析：（1）已知顶点坐标为（1，-2），可设顶点式为y=a（x-1）2-2=ax2-2ax+a-2，设A（x1，0），B（x2，0），则x1x2=，C（0，a-2），由OC2=OA?OB，将相应点的坐标代入，列方程求a，即可求二次函数解析式；

（2）根据二次函数解析式及AB=|x1-x2|，利用求根公式求AB，点C到线段AB的距离为高，可求△ABC的面积．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式y=a（x-h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y=a（x-x1）（x-x2），抛物线与x轴两交点为（x1，0），（x2，0）．

已知二次函数的图象开口向上且不过原点0 顶点坐标为（1 -2） 与x轴交于点A B 与y轴交于点C 且满足关系式OC2=OA?OB．（1）求二次函数的解析式；（2）求