问题补充:
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于C点,对称轴与抛物线相交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.已知x1、x2恰是方程x2-2x-3=0的两根,且sin∠OBC=.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
答案:
解:(1)由已知,可求:OA=1,OB=3,OC=3,
设抛物线的函数关系式为y=a(x+1)(x-3),
∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴3=a×1×(-3),
解得:a=-1,
所以二次函数式为y=-x2+2x+3.
(2)由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
则顶点P(1,4),共分两种情况,如图1:
①由B、C两点坐标可知,直线BC解析式为y=-x+3,
设过点P与直线BC平行的直线为:y=-x+b,
将点P(1,4)代入,得y=-x+5.
则直线BC代入抛物线解析式是否有解,有则存在点Q,
即可得:-x2+2x+3=-x+5,
解:x=1或x=2,
代入直线则得点(1,4)或(2,3).
已知点P(1,4),
所以点Q(2,3).
②由对称轴及直线BC解析式可知M(1,2),PM=2,
设过P′(1,0)且与BC平行的直线为y=-x+c,
将P′代入,得y=-x+1.
联立,
解得或.
故可得存在Q它的坐标为(2,3)或(,)或(,).
(3)由(2)可得:M(1,2),如图2:
由点M,P的坐标可知点R存在,即过点M平行于x轴的直线,
则可得-x2+2x+3=2,
解得x1=1-(在对称轴的左侧,舍去),x2=,
即点R(,2).
解析分析:(1)根据一元二次方程的解,可得出OA、OB,根据sin∠OBC=可得出OC的长度,将点C的坐标代入,可得出a的值,继而可得出抛物线的解析式;
(2)因为两三角形的底边MB相同,所以只需满足MB上的高相等即可满足题意;
(3)根据前面所求可得出点M是PP的中点,从而过点M作x轴的平行线,与抛物线的交点即为所求.
点评:此题属于二次函数综合题,涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解及三角形的面积,综合性较强,解答本题的难点在第三问,关键是根据点M是PP的中点求解,难度较大.
如图 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(x1 0) B(x2 0)两点 与y轴交于C点 对称轴与抛物线相交于点P 与直线BC相交于点M 连接PB.已知x1 x2