【已知函数f】已知函数f(x)=3x+3-x.(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调增区间...

问题补充：

已知函数f（x）=3x+3-x．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求函数的单调增区间，并证明． 数学

答案：

【答案】 （1）∵函数f（x）=3x+3-x的定义域关于原点对称，

且f（-x）=3-x+3x=f（x），

故函数f（x）=3x+3-x是偶函数．

（2）函数的单调增区间为[0，+∞）．证明如下：

任取x1、x2使得0≤x1＜x2，

∴3x1＜3x2，x1+x2＞0

∴3x1?3x2＜0，3x1+x2＞1

则f（x1）-f（x2）=(3x1+3?x1)-(3x2+3?x2)=(3x1?3x2)+3x2?3x13x1?3x2=(3x1?3x2)(3x1?3x2?1)3x1?3x2=(3x1?3x2)(3x1+x2?1)3x1+x2＜0，

即f（x1）＜f（x2），

所以，函数f（x）=3x+3-x在区间[0，+∞）上是增函数．

【问题解析】

（1）函数f（x）为偶函数，理由为函数的定义域关于原点对称，然后求出f（-x），化简后得到其等于f（x），从而根据偶函数的定义得到此函数为偶函数；（2）函数在区间[0，+∞）上为增函数，理由为在区间[0，+∞）上任取0≤x1＜x2，求出f（x1）-f（x2），通分后，根据设出的0≤x1＜x2，判定其差小于0，即f（x1）＜f（x2），从而得到函数为增函数． 名师点评本题考点 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明． 考点点评题考查了函数定义域及其求法，函数奇偶性的判定，以及函数单调性的判定．偶函数的判定方法为f（-x）=f（x）且定义域关于原点对称；函数单调性的判别方法为在定义域内任意取两个自变量设出其大小关系，利用作差的方法判定其对应的函数值的大小关系，从而得到函数的单调性．

【本题考点】

函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明． 考点点评题考查了函数定义域及其求法，函数奇偶性的判定，以及函数单调性的判定．偶函数的判定方法为f（-x）=f（x）且定义域关于原点对称；函数单调性的判别方法为在定义域内任意取两个自变量设出其大小关系，利用作差的方法判定其对应的函数值的大小关系，从而得到函数的单调性．