问题补充:
解答题已知函数f?(x)=.
(1)判断函数f?(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)如果关于x的方程f?(x)=kx2有四个不同的实数解,求实数k的取值范围.
答案:
解:(1)函数f?(x)在区间(0,+∞)上,证明如下:
∵f(x)=,
∴当x>0时,f(x)=
∵上是减函数
∴f?(x)在区间(0,+∞)上是增函数.(4分)
(2)原方程即:=kx2①
①由方程的形式可以看出,x=0恒为方程①的一个解.(5分)
②当x<0且x≠-2时方程①有解,则=kx2即kx2+2kx+1=0
当k=0时,方程kx2+2kx+1=0无解;
当k≠0时,△=4k2-4k≥0即k<0或k≥1时,方程kx2+2kx+1=0有解.
设方程kx2+2kx+1=0的两个根分别是x1,x2则x1+x2=-2,x1x2=.
当k>1时,方程kx2+2kx+1=0有两个不等的负根;
当k=1时,方程kx2+2kx+1=0有两个相等的负根;
当k<0时,方程kx2+2kx+1=0有一个负根(8分)
③当x>0时,方程①有解,则=kx2,kx2+2kx-1=0
当k=0时,方程kx2+2kx-1=0无解;
当k≠0时,,△=4k2+4k≥0即k>0或k≤-1时,方程kx2+2kx-1=0有解.
设方程kx2+2kx-1=0的两个根分别是x3,x4
∴x3+x4=-2,x3x4=-
∴当k>0时,方程kx2+2kx-1=0有一个正根,
当k≤-1时,方程kx2+2kx+1=0没有正根.(11分).
综上可得,当k∈(1,+∞)时,方程f?(x)=kx2有四个不同的实数解.(13分).解析分析:(1)判断函数f?(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明,先去绝对值号对函数表达式化简,根据其形式判断出函数的性质,再进行证明(2)方程f?(x)=kx2有四个不同的实数解,代入函数表达式,进行探究,由于方程带有绝对值,故需要分类去绝对值,在每一类中找出满足方程有两解的参数的值,合并既得.点评:本题第一问考查单调性的判断,题目较易,第二问由方程有四个解来求参数的范围,本题对思维的严密性要求很高,需要熟练运用分类讨论的思想,因为题目中有太多的不确定性,本题难度较大.