问题补充:
设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M、m,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;
(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.
答案:
解:(1)由f(0)=2可知c=2,
又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两实根.
∴,解得a=1,b=-2
∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为x∈[-2,2],根据函数图象可知,当x=1时,
f(x)min=f(1)=1,即m=1;
当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.
(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x1=x2=1,
根据韦达定理得到:,即,
∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2]其对称轴方程为x==1-
又a≥1,故1-
∴M=f(-2)=9a-2
m=
则g(a)=M+m=9a--1
又g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的,∴当a=1时,g(a)min=
解析分析:(1)由f(0)=2得到c的值,集合A的方程可变为f(x)-x=0,因为A={1,2},得到1,2是方程的解,根据韦达定理即可求出a和b,把a、b、c代入得到f(x)的解析式,在[-2,2]上根据函数的图象可知m和M的值.(2)由集合A={1},得到方程f(x)-x=0有两个相等的解都为1,,根据韦达定理求出a,b,c的关系式,根据a大于等于1,利用二次函数求最值的方法求出在[-2,2]上的m和M,代入g(a)=m+M中得到新的解析式g(a)=9a--1,根据g(a)的在[1,+∞)上单调增,求出g(a)的最小值为g(1),求出值即可.
点评:考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题,掌握利用数形结合法解决数学问题,会求一个闭区间上二次函数的最值.
设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2 2]上的最大值 最小值分别是M m 集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1 2} 且f(0)=2 求M和m的