高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分

第三节 微积分基本定理

一、原函数与变上限积分

原函数

定义：对函数 f ( x ) f(x) f(x)，若存在 F ( x ) F(x) F(x) 使得 F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ I F^{\prime}(x)=f(x)\ ,\ x \in I F′(x)=f(x),x∈I，则称 F ( x ) F(x) F(x) 是 f ( x ) f(x) f(x) 在 I I I 的一个原函数。定理：若 G ( x ) G(x) G(x)​ 与 F ( x ) F(x) F(x)​ 均为 f ( x ) f(x) f(x)​ 的原函数，则满足 F ( x ) = G ( x ) + C F(x)=G(x)+C F(x)=G(x)+C ​说明 原函数不唯一 F ( x ) F(x) F(x)​ 是 f ( x ) f(x) f(x)​ 的一个原函数 ⇒ F ( x ) + C \Rightarrow F(x)+C ⇒F(x)+C​ 是 f ( x ) f(x) f(x)​ 的全体原函数

变上限积分

定义

​ (1) 若 f ( x ) ∈ R [ a , b ] f(x)\in R[a,b] f(x)∈R[a,b]，定义函数 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , x ∈ [ a , b ] \Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t, \quad x \in[a, b] Φ(x)=∫ax​f(t)dt,x∈[a,b] 为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的变上限积分.

​ (2) f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积，每取定一点 x 0 ∈ [ a , b ] x_0\in[a,b] x0​∈[a,b]， ∫ a x f ( t ) d t \int_{a}^{x} f(t) d t ∫ax​f(t)dt 有唯一对应值，

​ 相当于在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上定义一个新函数。

性质

​ (1) 连续性

​ 若 f ( x ) ∈ R [ a , b ] , Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t f(x) \in R[a, b], \Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t f(x)∈R[a,b],Φ(x)=∫ax​f(t)dt，则 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 连续

​ (2) 可微性

​ 若 f ( x ) ∈ C [ a , b ] , Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t f(x) \in C[a, b], \Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t f(x)∈C[a,b],Φ(x)=∫ax​f(t)dt，则 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 可导，且 Φ ′ ( x ) = f ( x ) \Phi^{\prime}(x)=f(x) Φ′(x)=f(x)​

变限积分函数求导推广

​ (1) [ ∫ a x f ( t ) d t ] ′ = f ( x ) [\ \int _{a}^{x}f(t)dt\ ]' \ = \ f(x) [∫ax​f(t)dt]′=f(x)

​ (2) [ ∫ a φ ( x ) f ( t ) d t ] ′ = f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) [\ \int _{a}^{\varphi(x)}f(t)dt\ ]' \ = \ f(\varphi(x))\varphi'(x) [∫aφ(x)​f(t)dt]′=f(φ(x))φ′(x)

​ (3) [ ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t ] ′ = f ( φ 1 ( x ) ) φ 1 ′ ( x ) − f ( φ 2 ( x ) ) φ 2 ′ ( x ) [\ \int _{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt\ ]' \ = \ f(\varphi_1(x))\varphi_1'(x)-f(\varphi_2(x))\varphi_2'(x) [∫φ1​(x)φ2​(x)​f(t)dt]′=f(φ1​(x))φ1′​(x)−f(φ2​(x))φ2′​(x)

二、微积分基本定理

牛顿-莱布尼兹公式

f ( x ) ∈ C [ a , b ] 且 F ′ ( x ) = f ( x ) ⇒ ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) f(x) \in C[a, b]\quad \text{且}\quad F^{\prime}(x)=f(x) \quad \Rightarrow \quad \int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a) f(x)∈C[a,b]且F′(x)=f(x)⇒∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)​ ​

∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a) ∫ab​f(x)dx=F(x)∣ab​=F(b)−F(a)​

说明求定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b} f(x) d x ∫ab​f(x)dx 的值归结为求出 f ( x ) f(x) f(x) 的一个原函数

注意， ∫ a b f ( x ) d x 存 在 ⇎ f ( x ) 在 [ a , b ] 上 存 在 原 函 数 \int _{a}^{b}f(x)dx\ 存在 \ \nLeftrightarrow \ f(x)在[a,b]上存在原函数 ∫ab​f(x)dx存在⇎f(x)在[a,b]上存在原函数 。

​ f ( x ) = { 2 x sin ⁡ 1 x 2 − 2 x cos ⁡ 1 x 2 , x ≠ 0 0 , x = 0 f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}\ , \ x\neq 0 \\0\ , \ x= 0\end{array}\right. f(x)={2xsinx21​−x2​cosx21​,x​=00,x=0​