一、向量的内积
1.1向量内积的定义
概括地说，向量的内积(点乘/点积/数量积)就是对两个向量执行点乘运算，即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：
a和b的点积公式为：
这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量).
定义：两个向量a与b的内积为a·b= |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a=a·0= 0；若a，b是非零向量，则a与b正交的充要条件是a·b= 0。
1.2向量内积的性质
a^2 ≥0；当a^2 = 0时，必有a = 0(正定性)
a·b = b·a (对称性)
(λa+ μb)·c= λa·c+ μb·c，对任意实数λ, μ成立(线性)
cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
|a·b| ≤|a||b|，等号只在a与b共线时成立
1.3向量内积的几何意义
内积(点乘)的几何意义包括：
表征或计算两个向量之间的夹角
b向量在a向量方向上的投影
公式
推导过程如下，首先看一下向量组成：
根据余弦定理有：
将c=a-b带入上式中得出：
因此可以得出：
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：
a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a∙b=0→正交，相互垂直
a∙b<0→方向基本相反，夹角在90°到180°之间
二、向量的外积
2.1向量外积的定义
概括地说，两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
定义：向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。 特别地，0×a= a×0= 0.此外，对任意向量a，a×a=0。
对于向量a和向量b：
a和b的外积公式为：
其中：
根据i、j、k间关系，有：
2.2向量外积的性质
a×b= -b×a. (反称性)
(λa+ μb) ×c= λ(a×c) + μ(b×c). (线性)
2.3向量外积的几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的外积结果称为法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中，外积的概念非常有用，可以通过两个向量的外积，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
在二维空间中，外积还有另外一个几何意义：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
