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在上两篇文章中，我们讨论了数列有关内容，这一篇我想和大家讨论一下函数的零点和极值问题。这个题目同样源于笔者接的一单问答中几个填空题的其中一道，感觉有点启发意义，这里和大家分享一下：
同样的，不妨先动手做一下，然后再接着往下看。这道题中包括两个未知参数a、b和一个绝对值符号，讨论起来比较复杂。但是按照题目要求，只需要找其中一个正确答案就可以了，我们很自然地想到选一个信息较多的条件。于是我们假设a=1；考虑函数 g(t) = (t-1) - 3|t-1| (t≥0），很明显直线 t =1 将 g(t) 分为 0≤t<1和t≥1 两部分，这两部分均为 t 二次函数的一段，而这两个二次函数的对称轴分别为t=-1/2 和 t=5/2；第一段函数在其对称轴的右边，所以 g(t) 在这一段（ 0≤t<1）单调递增，第二段函数的对称轴（t=5/2）在这一段的中间部分，多以 g(t) 在这一段（ t≥1）先减小后增大。我们计算出t=0、t=1、t=-5/2 这几个点的值然后作图如下：
由于 t=x ，所以在 x≥0 时 g(x) 极值点的纵坐标和升降趋势和 g(t) 相同，我们可根据 g(t) 的图像作出 g(x) 在x≥0 时的图像，又由于 g(x) 为偶函数，所以 x<0部分的图像也可以作出来了：
所以我们知道 a=1 时，f(x) = g(x) - b 有三个极小值点，当 -9/4<b<-2 或者b=0时 f(x) 有4个零点，当-2<b<0 时 f(x) 有6个零点 。所以由③可以得到⑦，④可以得到⑧，就该题而言当然就已经结束了。
但是接下来，我们更深入探讨一下，a 的大小与 f(t) 极值点之间的关系。我们回到 g(t) ，其两段函数的对称轴分别为 t=a-3/2 和 t=a+3/2，当 a<-1/2时，两个对称轴分别在这两段函数的左边， 此时 f(t) 在 0≤t<1，和t≥1 两段都是上升的：
当 -1/2≤a<3/2时，此时第一段函数的对称轴仍然在这段函数的左边，所以这一段 f(t) 是上升的。而第二段对称轴跑到 1 的右边，所以第二段先下降后上升：
当 3/2≤a<5/2时，第一段的函数的对称轴跑到 0和1之间，第二段函数的对称轴仍然在1 的右边，所以这两段函数都是先下降后上升的：
当 5/2≤a 是，第一段函数的对称轴跑到1的右边，所以第一段函数下降，第二段函数先先下降后上升：
将 t 换成 x，根据对称性得到 g(x) 的趋势图像，而 g(x) 与 f(x) 之间只差了一个常数b ，他们的升降趋势相同：
所以当 a≤-1/2时，f(x) 有1个极小值点，当 3/2<a<5/2时，f(x) 有4个极小值点。所以由①可以推导出⑥，由②可以推导出⑤。当然我们还可以继续算出各极值点的大小讨论a、b不同取值情况下零点的个数，这就太复杂了，高考中一般不会出现太复杂的题目，这里就不在讨论了，感兴趣可以再做一下。
小结
本文通过一道高考模拟卷的填空题，展示了分类讨论的一般思路。这道题虽然只是一道填空题，但过程还是比较麻烦的，其完全可以当作一道大题出现，我们的思路为用t替换 x ，然后通过分段讨论将函数转化为我们熟悉的二次函数，然后通过讨论 a 取不同值时，两段函数的对称轴的位置，得到函数的上升和下降趋势，从而得到函数极值点，再通过映射 h: x->t 在 x≥0 时的单调递增关系和 f(x) 为偶函数特性，得到全定义域内 f(x) 的极值点和零点。
这种题目难点在于很麻烦，需要我们耐心仔细地讨论各种情况，这在考试的环境中（高度紧张）是尤为难得的，碰到这种题目不要慌，先转化为我们熟悉的形式，然后分各种情况讨论。如果对情况把握不准（例如这里为什么用 a 分段讨论），我们先找出影响结论的关键因素（这里极值点和零点的关键在于函数的升降趋势），找到关键因素（这里的a）后，找出一个临界值（这里是两个对称轴在 x=0，和 x =1处 a 的取值) ，这样就知道把 a 分哪些情况讨论了。
最后，依然用右手螺旋定则为大家点赞，为即将参加高考的同学们加油。如果对左右手定则记不清楚的话，在文章高考物理中的左右手定则，超全超实用中有总结，欢迎浏览。
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