函数的极值点和零点是描述函数性质的重要依据，在高考中，有关函数极值点和零点的判定问题也经常出现。函数的极值点问题主要利用函数的单调性进行研究，常见的问题包括极值点位置的判定，最大值和最小值问题，极值点类型的判定，以及与函数的极值点偏移相关的证明问题。而函数的零点问题则为近几年高考函数部分的热点问题，涉及到的主要题型有零点存在性的判定，零点个数的判定，以及利用零点虚设研究函数的性质。
今天与大家分享的这道原创试题，第一问为函数极值点的判定问题。函数的极值点在原函数导数为零处取到，极值点的类型（极大值点还是极小值点）需要结合函数的单调性进行判定，或直接利用函数二阶导数在极值点处的正负判定，即二阶导数为正，为极小值点，二阶导数为负，为极大值点。第二问涉及到了零点的存在性和个数的判定，因此需要从这两个维度加以分析，其中函数的单调性保证了零点的唯一性，而零点存在定理则保证了零点的存在性。
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