中考数学,优秀的孩子必须会阿氏圆!
“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有点P的轨迹构成的图形是一个圆。
阿氏圆最值模型解题方法:
①计算PA+k·PB的最小值时,利用两边成比例且夹角相等,构造母子型相似三角形;
②两个三角形的相似比等于k;
③根据相似比,找出一条线段替换k·PB,转化成三点共线求最小值。
【例题】
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,交AC、BC于D、E两点,点P是圆C上一个动点,则1/2PA+PB的最小值为___ 。
(本题视频讲解在文末)
分析:解这道题的关键在于转化1/2PA,这里P的轨迹是圆,半径为2,CA=4,连接CP,构造含有线段AP的△CPA 。
再取DC的中点F,连接PF。
可得:CF=1,CF:CP=CP:CA=1:2,∠PCF是公共角;
所以,
因此,这道题目就转化为求PF+PB的最小值。
显然,当点P、F、B三点共线的时候,PF+PB取得最小值,即为线段BF的长。
在直角三角形BCF中,
BC=3
CF=1
根据勾股定理得:
1/2PA+PB的最小值为根号10。
本题的视频讲解:初中数学解题视频:动点问题-阿氏圆最值模型(1)