肖建伟 /5/7
初中数学中有一类问题是动点问题,笔者看到这个问题前后讨论得经久不息,最近刚好又掀起了讨论这个问题的热潮。对于这类动点的制作,其实笔者之前早已写过教程,这次算是蹭个热点,就将其发布都这里吧。
例题
本期介绍的是一种比较简单、通俗易懂的方法-单位向量法,请看以下例题:
△ABC为一直角三角形,BC=4,AC=3,点D、E是三角形上的两个动点。其中,点D沿C-A-B方向运动,速度为1.5个单位/秒;点E沿C-B-A方向运动,速度为2个单位/秒。当两点相遇时,它们同时停止运动。请绘制出D、E两点,及△CDE的面积与时间t的关系图像(轨迹)。
以下是效果演示:
制作过程
1
绘制Rt△ABC
2
计算与时间t有关的量
(1)计算动点跑完全程所用的时间T:
T= (a b c) / (1.5 2)
(2)建立控制运动时间的滑动条t。t的最小值为0,最大值为T,增量取合适的值
3
获取三角形各边的单位向量
输入指令:
单位向量(a)
单位向量(b)
单位向量(c)
以上得到的三个向量分别记为u、v、w(请留意向量的方向),如下图:
4
绘制动点D
输入指令:
如果(t ≤ b / 1.5, C 1.5t*v, A 1.5 (t - b / 1.5)*w)
解析:b/1.5(路程/速度)是点D走完CA段所需要的时间,当t≤b/1.5时,点D在CA上运动,并且走过的路程为1.5t,所以点D的位置可表示为C 1.5t*v;当t>b/1.5,点D在AB上运动,在AB上走过的路程为1.5(t - b / 1.5),所以点D在AB上的位置可表示为A 1.5 (t - b / 1.5)*w。
5
绘制动点E
输入指令:
如果(t ≤ a / 2, C - 2t*u, B - 2 (t - a /2)*w
解析:指令的理解同上,唯一的区别是,上述指令中出现了负号,这是因为运动方向与单位向量的方向相反的缘故,这点应该是很好理解的。
6
绘制Rt△CDE、构造轨迹
(1)绘制△CDE,记为t2
(2)以t为横坐标,t2为纵坐标描点,得到点F:(t,t2)
(3)构造点F对t的轨迹,输入指令:轨迹(F, t)
当然,第(3)步得到的轨迹是静态轨迹,若想绘制动态轨迹,请参考前面的推文:【文章教程】GeoGebra动态轨迹的实现方法(滑动条控制类型)
至此,以上课件就制作完成了,本文源文件可到/m/ecsqugms下载。
总的来看,单位向量法运用起来是非常简单且意义明了的,对于在线段、折线、多边形等直线类型的几何对象上的动点,都可以采用单位向量的做法。
思考与实践:如果点D运动到点A时暂停2秒,你能把这个案例制作出来吗?