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向你介绍我是谁
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本期内容有哪些
听一听：代数与几何的联姻
读一读：学生怎样解决鸡兔同笼问题
看一看：一部关于数学的电影
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代数与几何联姻.mp3 来自一课研究 00:00 05:50
代数学和几何学一直是数学的两个分支，他们之间没有时分明确的界限。代数学是怎样发展的，它和几何学之间有什么联系呢？
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阅 读 导 航
1. 学生会怎么样解决鸡兔同笼问题
2. 哪一种解决问题的方法学生用得最多
3. 课堂教学中如何利用孩子的想法进行教学
前测的问题
给学生最基本的鸡兔同笼问题，看学生能否解决问题，再通过个案访谈了解学生解决问题的想法。
“ 小朋友，你能想办法解决下面的问题吗？笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数有26只脚。鸡和兔各有多少只呢？（请把你的想法写下来，如果你有很多种方法能解决问题你可以写很多种。）”
分别于5月和3月对宁波某地区小学四年级两个班73名学生进行测查访谈。这部分学生没有在学校学习鸡兔同笼问题。测查时以班级为单位，不提供任何帮助，也没有规定时间，学生认为已经完成就把作业纸上交，如果认为自己不能解决问题，也可以上交作业纸。
学生怎样解决鸡兔同笼问题？
学生解决问题情况
分头数，凑脚数
采用这种方法的学生能找到鸡兔同笼问题的要点，随机把总头数分成鸡和兔的只数，当他们把脚数凑到满足信息中的脚数时，认为问题已经解决不再寻求其他可能。
分脚数，凑头数
采用这种方法的学生能找到鸡兔同笼问题的要点，会将脚数进行拆分，分成4的倍数或者2的倍数，当他们把头数凑成满足信息中的头数，觉得问题解决。
第
三
种
根据脚数凑头数
采用这种方法的学生会根据以往经验，用总脚数÷每个动物的脚数（一只鸡和一只兔的总脚数），求出大概有几个动物，再进行调整，凑出满足信息的头数。
列表法
采用这种方法解决问题的学生有1人，他们会根据鸡兔同笼问题的题目结构自己构建一张表格，将相关信息通过表格的形式进行罗列，弄清各部分要点之间的联系，有序地进行思考最后解决问题。
假设法
采用这种方法的学生会用一般的假设法解决鸡兔同笼问题，他们能够通过“假设——比较——调整”的方法得出结果，但是叙述思考过程的时候逻辑上不很严密。
采用各种方法解决问题的学生人数占总人数情况。
学生采用最多的是“根据脚数凑头数”的方法，最少的是“列表”的方法，没有学生用“画图”帮助自己解决问题。通过访谈发现，选择假设法的学生都是在课外学习中接受了“奥数老师”的教学。
为什么第三种方法采用的学生占比最高
通过对人教版教材的整体梳理，我们试图分析其中原因。
1.到四年级，学生已经掌握了除法结构的解决问题，掌握了“总脚数÷每只鸡的脚数=鸡的只数”这样的数量关系。遇到求“鸡有几只”的问题，首先提取的一定是最熟悉的数量关系。
2.在以往的学习中求鸡有多少只我们往往要求学生列出“26÷2=？”这样的算式，用2×13=26来求往往被我们认为错误。这也使得学生很少考虑到用乘法结构来求鸡的只数。
3.学生无法提取更多解决问题的方法。梳理教材后发现，教科书安排“画图法”比“列表法”多得多。“列表法”出现得比较突兀，系统性和连续性不强，使用的频率也不高。比如：四年级上册“怎样安排合理”（如上图）学习的时候，教材已经将列表法直接舍去，要求学生列算式说明问题。“画图法”和“列表法”更多被视为解决问题过程中理解题意和分析解答过程中的辅助方法；而“列式计算”才会最终的目标。因此，学生在解决问题的时候，可能出现不把“列表法”、“画图”视为解决问题的方法，列出算式则成为他们解决问题的唯一目标。
第三种方法有道理吗？
学生采用最多的方法（如图），用总脚数26除以每只兔子4只脚，得到兔子有6只，余下的2只脚凑成一只鸡。然后发现合起来是7只动物与已知信息对比，发现不符合已知信息，再进行调整。一直调整到3只鸡5只兔，总只数符合已知信息为止。
整理分析学生的思维
如果我们结合列表法和假设法来整理孩子们的思考过程， 可以清楚地看到他们同样经历了好几次“假设——对比——调整”的过程。
其它方法分析
我们将孩子们所有的方法进行整理分析，发现无论学生采用哪种方法解决问题，其思维过程是相似的，都需要经历“假设——对比——调整”的过程。所不同的是抽象的程度不一样，调整的方法有差异。
课堂教学中如何利用孩子们的想法？
在教学的过程中，对学生的已有解决问题的方法不能熟视无睹，而是要合理利用加以引导，帮助学生克服理解上的困难，使学生体会列表法和假设法的优点。
1.交流中理解各种方法背后的道理。
在教学中当学生用自己的方法尝试解决鸡兔同笼问题后，老师可以在巡视的过程中将学生的典型作品收集起来。接着，请学生说说想法，在交流中理解各种方法背后的道理。这个过程中，老师可以引导学生用画图的方法帮助自己理解，同时将画图法也呈现在板书中作为第六种方法。
2.对比中将各种方法归类
当学生借助画图等方法理解了每种方法的道理，教师要引导学生进行比较。请学生比较五种方法哪几种想法相似，一般学生会把第1种、第3种和第4种归为一类，其他两种各为一类。最后引导孩子比较1、3、4三种方法有什么不同，从而归纳出列表法思考更有序更清晰。
3.选择中体会方法优越性
当学生理解各种方法的道理之后，我们可以将脚数改为94只，头数改为35只，再让孩子们自主选择解决问题的方法。一般学生会比较固执于自己的方法，所以在这里也需要引导孩子对比哪种方法更合理。通过比较可以发现第一种方法调整比较麻烦，画图法无法画出35只头，从而体会到列表法和假设法的优点。
如果在课堂上时间有限无法将所有的方法一一呈现让学生理解，可以在课堂教学之余，设计研究型作业（如下图）。通过课外的研究让学生明白他们最初采用的方法不是没有道理只是太过复杂，不具有一般性。
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一部关于数学的电影
《心灵捕手》
“
今天我想给大家推荐一部电影——《心灵捕手》。威尔聪明绝顶却叛逆不羁，甚至到处打架滋事，并被少年法庭宣判送进少年观护所。他在麻省理工学院做清洁工的工作。有一天，一个麻省理工学院的数学教授，在他系上的公布栏写下一道他觉得十分困难的题目，希望他那些杰出的学生能解开答案，可是却无人能解。威尔在下课打扫时，发现了这道数学题并轻易的解开这个难题。数学教授有心提拨这个性不羁自我的天才，要他定期研究数学和接受心理辅导。数学难题难不倒他，但却对于心理辅导，威尔却特别抗拒，直至遇到一位事业不太成功的心理辅导专家桑恩教授。在教授蓝勃、心理学家桑恩和朋友查克的帮助下，威尔最终把心灵打开，消除了人际隔阂，并找回了自我。
