解答题已知二次函数f（x）满足以下两个条件：①不等式f（x）＜0的解集是（-2 0）②

问题补充：

解答题已知二次函数f（x）满足以下两个条件：

①不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）

②函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值是3

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）若点（an，an+1）（n∈N*）在函数f（x）的图象上，且a1=99

（ⅰ）求证：数列{lg（1+an）}为等比数列

（ⅱ）令bn=lg（1+an），是否存在正实数k，使不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立？若存在，指出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案：

（Ⅰ）解：由题意，设f（x）=ax（x+2）（a＞0），∴函数的对称轴为直线x=-1

∴函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值是f（1）=3a=3

∴a=1

∴f（x）的解析式为f（x）=ax（x+2）；

（Ⅱ）（ⅰ）证明：∵点（an，an+1）（n∈N*）在函数f（x）的图象上，

∴an+1=an2+2an，∴1+an+1=（1+an）2，

∴lg（1+an+1）=2lg（1+an）

∵a1=99

∴lg（1+a1）=2

∴数列{lg（1+an）}是以2为首项，2为公比的等比数列；

（ⅱ）解：bn=lg（1+an）=2n，要使不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立，则kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立．

n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4；

设g（n）=kn2-2n-2，当k＞4时，由于对称轴为n=＜1，且g（1）＞0，而函数f（x）在[1，+∞）上是增函数

∴kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立

∴k＞4时，不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立．解析分析：（Ⅰ）由题意，设f（x）=ax（x+2）（a＞0），确定函数的对称轴，利用函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值，即可求得函数解析式；（Ⅱ）（ⅰ）利用点（an，an+1）（n∈N*）在函数f（x）的图象上，化简可得lg（1+an+1）=2lg（1+an），即可证得数列{lg（1+an）}是以2为首项，2为公比的等比数列；（ⅱ）要使不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立，则kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立．利用n=1时，k-2-2＞0成立，可得k＞4，再验证kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立即可．点评：本题考查函数的解析式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．