问题补充:
解答题已知函数:f(x)=alnx-ax-3(a∈R)
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],若函数在区间(t,3)上有最值,求实数m的取值范围;
(3)求证:ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*)
答案:
解:(1),
当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞);
当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(0,1];
当a=0时,f(x)不是单调函数
(2)因为函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,
所以f′(2)=1,所以a=-2,,
,g′(x)=3x2+(4+m)x-2
因为对于任意的t∈[1,2],函数 在区间(t,3)上
总存在极值,所以只需 ,解得
(3)令a=-1(或a=1)
此时f(x)=-lnx+x-3,
所以f(1)=-2,
由(1)知f(x)=-lnx+x-3,在[1,+∞)上单调递增,
∴当x∈(1,+∞)时f(x)>f(1),即-lnx+x-1>0,
∴lnx<x-1对一切x∈(1,+∞)成立,
∵n≥2,n∈N*,
则有,
∴要证ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!
即要证,
而
=1-<1.解析分析:(1)先对函数f(x)进行求导,然后令导函数大于0(或小于0)求出x的范围,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,即可得到